L. l'onct. ellipt, i

• ( 98 ) d'où Ton tire, par addition et soustraction,

— = — kHin/Jcosq,

il) { ., .

— r = — K'smqcosp.

De (6) et (7), on lire

fi^/> cosf/ fi'q coup

dpdq si ni/ (Ipdq smp

d^p co%q dq d^q cas p dp

dp sn\q dq sinp OU

cfp . dq , .

dt ' dt . ^

a el a' désignant deux constantes qui doivent rentrer l'une dans l'autre. En remplaçant yy et q par leurs valeurs dans ces formules, on a

ou

y/i — A'^sin'tp -+- \/i — X^'sin'ij' = asin («p — ■^), y/i — /■'■'sin'iji — Vi — A'sin'^{/ =: a'sin(jp + ■if).

Ce sont là deux intégrales de la formule (i); mais, en éliminant dt entre les deux formules précédentes, on obtient une nouvelle intégrale. En effet, on a

dp dq I ' j • j

— - — — — ou a. sinpdp=asiBqdq,

aswq a smp • et, en intégrant,

a CCS/? = a'coSf/ ■+■ a", a" étant une nouvelle constante, et l'on a

(9) acos (y -f- ^}<) = a'cos(ç — •^)-\-a.'\

( 99 ) Or, on peut mettre l'intégrale de la formule (i) sous la

forme

Jo V' — X-'sin-<p Jo y/i — X'sin']/ Jo \/i — X^sin-fx

fx désignant une constante à laquelle se réduit cj) pour ij; = G. Si, dans les formules (8) et (9), on fait i|; = o, on a

^i — /-'sin'fi H- 1 =■ asinp,

On en lire

^1 — X'sin'p. — 1 = a'sinfji, acosft = a' ces IX + a".

v/i — /'sin'ix + i \/ï — X'sinV — r

smfx sinu

i/i — ^'sin^u.-+-i v/i — /^sin'u. — I

a= ; COS« : ■ COSW,

smf* sinfx

ou

„ 1 COS jX

Sinjx

En portant dans la formule (9) ces valeurs de a, a', a", on a

i/i — /'sin'a -+- I , , .