SUR LES PÉRIODES ÉLÉMENTAIRES

Soit/(2) une fonction doublement périodique. Considérons les points Moo et M|o qui représentent les imaginaires Zg et Zq -+- w, w désignant une période def[z). On peut toujours supposer que w soit la plus petite période d'argument égal à l'argument de w, car il n'existe pas deux périodes distinctes de même argument; toutes sont multiples de l'une d'elles, que l'on peut appeler w. Soit CI une période distincte de w, et supposons-la aussi la plus petite de celles qui possèdent son argument. Soit Mot le point qui représente l'imaginaire z© -H cr î sur les droites M^, M,o et M^g Moj, on peut construire un parallélogramme que l'on pourra considérer comme un parallélogramme des périodes; on lui donne le nom de parallélogramme é lé me ni aire, si aucun des points de son aire joints à Moo n<i fournit une nouvelle période.

11 est clair (jue le parallélogramme élémentaire peut se former en prenant la période o) pour base et en faisant

mouvoir le côté MooMio, pris pour base, parallèlemeni à lui-même, jusqu'à ce qu'il rencontre un point Moi, It-'l que MooMoi soit une période.

Soient co et cy deux périodes élémentaires; œ'et nr'deux nouvelles périodes; il faudra nécessairement que l'on ait

i <a' = m u •+■ na, (l) }

I tj' = m'a» -\- «'cr,

771 et n, m' et n' désignant des entiers ; car une période quelconque s'obtiendra en joignant le point Moo à l'un des points de croisement M,„„ des droites formant le réseau des parallélogrammes des périodes w, cy. Pour que les périodes w', ct' puissent former un nouveau parallélogramme élémentaire, il faut que met n soient premiers entre eux, ainsi que m' et //'. En effet, si m et n avaient le diviseur commun cî, en posant m = dm", n = dn", on

aurait

et y serait une période ; w' ne saurait donc être une période élémentaire; mais w et cy doivent s'exprimer en œ' et xs' sous les formes

u = p.w' ,-4- vo', II, Il

ce qui exige que le déterminant du système (i) divise wcy' — «'&)' et mny' — m'co', c'est-à-dire n, n', m et m'. Or, m et n étant premiers entre eux, le déterminant est égal à l'unité, et l'on a

mn' — nm' = zt l .

Soit

w = a + h^ — I, cr =fl'-f- h' ^ — i,

(ù =z ma -r- na -\- s/ — i[mb + nb')j or' = m' a-\- n' a! + sj — i [ni 'b -\- n! b' ),

( io3 ) l'aire du second parallélogramme des périodes est

[ma -h na'][m' b' + n'b'] — [m'a + n'a') [ma -^- nb'

OU

ah' — ba'.

Donc

Les aires des parallélogrammes élémentaires sont

égales.

stjh la forme générale des fonctions doublement périodiques, ET LEUR EXPRESSION EN FONCTION DE l'uME d'eLL-€S.

Théorème I. — H existe toujours une fonction doublement péiiodiçue admettant deux périodes données, deux zéros donnés et deux infinis donnés, pourvu que la somme des zéros soit égale à la somme des injinis à des multiples des périodes près.

En effet, nous avons vu qu'il existait deux fonctions distinctes ç, etç» satisfaisant aux formules

^[x + vs] = (p(a:)c

et que la solution la plus générale de ces équations

était

A|Cpi H- Ajffî^ip.

Ces fonctions cçi et (^, ont chacune deux zéros dans le parallélogramme dos périodes w et cr, ainsi que la fonction y. Si nous divisons qji par cj», ou si nous divisons AjÇ, H-AjT, par B, (Pj -i- B,©,, Bj et Bj désignant des constantes différentes de Ai et A,, npus obtiendrons une fonction doublement périodique y [x). Soient a, h ses

zéros, a et (3 ses infinis; considérons l'expression

elle n'est plus infinie pour a: = a ou j; = |3, mais elle l'est quand on pose x = a' ; elle admet en outre le zéro a'. Mais la fonction /"(a: H- 5) — f[a'-\-s)^ outre le zéro x = oi!, en possède un autre /3', tout en conservant les infinis jr = a — 5, j: = [3 — s. On doit donc avoir, en observant que la somme des zéros est égale à celle des

infinis,

équation dans laquelle on peut choisir 5, de telle sorte que (3' ait une valeur donnée. L'expression (i) admettra alors deux infinis donnés a', (î', le zéro donné a' et par suite un autre zéro b\ tel que a'-f- (3'^a'-hè'; enfin le coefficient A permettra de prendre la fonction (i) égale à une quantité donnée différente de zéro pour une valeur donnée de x.

Théorème II. — // existe une fonction possédant les périodes w et cy, les zéros «j, a^, . . . , a^ et les injinis «i, «2, . . . , a„ satisfaisant à la relation

«I + «j + ..•+«„ s= a, + aj -+-... H- a„.

En effet, soit Fi(x) une fonction aux périodes w, C7, admettant les zéros a^ et b^ et les infinis «i et «g, bi étant déterminé par la formule

Soit Y^ix) une fonction aux mêmes périodes ayant pour

zéros «2 et b^ et pour infinis «3 et èj, .... Soit F„i [x)

' une fonction aux mêmes périodes admettant les zéros

(*) Le signe ^ est employé à la place de = pour indiquer que l'on néglige des multiples des péciodes.

( io5 ) fl„, et b„i et les infinis ^„2 et a„, tels que

fl„, H- è„, ^ 2„ H- è„j. La fonction

aura les périodes to, cr, les zéros aj, aj, . . ., fl„i, ^„i et les infinis «i, a,, . . . , a„; mais on aura

Théorème III. — Deux J onctions doublement périodiques d'ordre fini dont les périodes w et cr, co' ef xs' satisfont aux relations

n = nx3 = «'o ,

m et m' désignant des nombres entiers; en d^ autres termes, deux Jonctions «, v^ dont les parallélogrammes élémentaires ont leurs côtés commensurables et dirigés dans le même sens, sont fonctions algébriques l'une de Vautre.

En effet, soient ii l'ordre de u, et v l'ordre de v. Le parallélogramme de i/, comme celui de ^', tiendra un nombre exact de fois dans le parallélogramme ayant pour côtés n et II, le premier mti = M fois, le second m'n'=N fois.. Il en résulte que, à chaque valeur de u, correspondront, dans le parallélogramme il, II, un nombre M^ de valeurs de la variable z^ et par suite M(i valeurs de »^; donc u est lié à u par une équation algébrique de degré Mfx en u. On verrait de même qu'elle est de degré Nv en u; car u et i' n'ont que des nombres limités de zéros et d'infinis et restent d'ailleurs monogènes et continues l'une par rapport à l'autre.

THÉoniiME IV. — Une Jonction d'ordre n est liée à sa dérivée par une équation du degré n, par rapport à sa dérivée, et de degré an par rapport à la fonction.

En effet, soit u une fonction aux périodes w etcr; sa

dérivée admet les mêmes périodes, mais les inOnis de la

dérivée sont en général en nombre double de celui de la

fonction; cardiaque infini de la fonction, lorsqu'il est

simple, devient double dans la dérivée 5 en tout cas,

l'ordre de la dérivée sera compris entre n -\~ i et 2/î. En

vertu du théorème précédent, il existera entre u et 1/

une relation algébrique d'ordre n en i/ et d'ordre n' en

îf, «+ I Sn'^2n, u' n'étant infini que si u est infini 5 le

coefficient de i/" pourra être pris égal à l'unité. A une

même valeur de u correspondent n valeurs de z dont la

1 , Jz i

somme est constante, et par suite n valeurs de -^ = -.1 •^ du u

dont la somme est nulle 5 donc le coefficient de u' est nul.

Par exemple, si u est du second ordre et a deux infinis

distincts, on aura

zt" H- U = o,

U désignant un polynôme du quatrième degré. Si it a un infini double, U sera seulement du troisième degré. Ce dernier théorème est de M. Méray.