DÉCOMPOSITION DES FONCTIONS A DEUX PÉRIODES / EN ÉLÉMENTS SIMPLES

Soient F [x) une fonction aux périodes w et cî, et cff^ «2, «3, . . . ses infinis. Soit 9 [x) une fonction auxiliaire satisfaisant aux relations

on aura

a: + ct)

21CV— I , , ^, . — — !! l^^rhc)

B'ix]

(x -4- wj

( .r H- CT '

:e'(.r) ci^v^zri

Considérons maintenant l'intégrale

2ïr v/ — 1

prise le long d'un parallélogramme des périodes. Le long des côtés parallèles à ct, les valeurs de l'intégrale se détruiront, et il restera à intégrer le long des deux autres côtés, ce qui donnera, en appelant/? une arbitraire,

2Tr \/ — I /

F(2) — prfz,

résultat indépendant de x et de />, que nous désignerons par C. Or, l'intégrale considérée est aussi égale à la

somme des résidus de ¥{z) —7 [' Les résidus relatifs

^ ' ô(z — jr)

à Q[z — x) sont, en appelant rtj, «ji ^3? • • • les zéros de

ceux relatifs à F(^) sont

Ô'(a, — x) 0'(sr,— x)

6 [a, — Jc) 9^a, — j:]

si les induis a sont simples, et l'on a

A,= lim(.r — a)F(x) pour a:-=:x.

En général, si l'on pose

on aura, pour résidu de r (z) — -^ ^>

( io8 ) En résumé, on aura

^ ' -ii-r/a'"-" (/w — ij! |6(a — a,-) ^^ J

Supposons [J-= i et a = oj on aura, au lieu de celte formule,

C = Fx +

et F[x) se trouve décomposé ainsi :

Cette formule donne F (x) décomposée en éléiuenis simples, tous intégrables au moyen de la fonction 0, ce qui démontre la possibilité d'intégrer les fonctions à deux périodes (du moins à l'aide des fonctions auxiliaires); mais le mode de décomposition dont il vient d'être question présente encore une foule d'autres applications que M. Hermite, auquel nous devons la théorie que nous venons d'exposer, a fait connaître.

Nous allons montrer immédiatement comment les intégrales de deuxième et de troisième espèce se ramènent par les considérations précédentes aux fonctions 0 et H de Jacobi.

La fonction de seconde espèce

quand on y fait z = snx^ devient, à un facteur constant A* près,

yX'sn'.rJ.r.

C'est cette intégrale que nous allons étudier. L'intégrale de troisième espèce

{ '09 ) devient, pour z ^=. sn ar,

/da

nous la remplacerons par

'A-'sn acnadna sn* j:

/'sn'asn'a:

en posant n*= ft*sn*a et en observant que l'intégrale (a) ne diflere de celle-ci que par une fonction linéaire de x et par un facteur constant.

ÉTUDE DE LA FONCTION Z(j:).

La fonction

Z(x)r= / k^sn^xdx

est évidemment monodrome, car les résidus de sn*x sont nuls; nous allons le vérifier.

Décomposons, par la méthode de M. Hermite, sn'x en éléments simples, celle fonction ayant pour périodes 2K [puisque sn(a:-|-2K) = — sna:] et aR'^ — i. Evaluons l'intégrale

(i = I sn'z -V^ ^dz

le long d'un parallélogramme de côiés 2K et aK'y— i; le long des côlés verticaux, le résultat de l'intégration est nul; le long des côtés horizontaux, le résultat est

27rv/-

X l 'i^ — ^ - '-^ — " ' "~\—:\dz.

I sn*«

rH'{z—.T) H^(z — x-h2KV— 1)1 [h(z-x) h(z — x + 2KV^)J

( i.o) En vertu de la formule

l'inlégrale considérée se réduit à

- / sn'z — r/3z= — — / sn'zz-yz;

nous désignerons celte quantité par C. Maisrinlégrale{i) est aussi égale à la somme des résidus de la fonction placée sous le signe y"; le résidu relatif au point x est sn^o: 5 calculons celui qui est relatif au point K'^ — i. Posons pour cela z =■ ¥J \J — i + h ; nous aurons

sn'(KV— I + h). — ^ ^^=3= [

l\[YJsl—\-x-{-h)

^ L i H-(K\/-^-.r) ^ Th'(kV^-x)T j , /•»sn»//j h(Kv^— I — x) L "(K-V— ï — -^jj i

et par suite le coefflcient de - ou le résidu cherché est

Si l'on observe que

on a

H'^K\/^ — .r) 0'(— x) TTS/^

H(Kv/-i-x) e(-.r) 2K

Notre résidu devient

l[e'{-a:)l'^irQ'{x)T

On a donc enfin

C = sn'j: +

ou, en intégrant, en multipliant par Â' et en posant

telle est l'expression de Z(.r), monodrome comme l'on voit. On en déduit

et l'on constate que la fonction

est monodrome également. M. Weierstrass la désigne par le symbole Al or. Il désigne par Al,x, AljX, AI3X les produits de A\x par snx, en j:, dno".

La constante ^ est susceptible de prendre une forme remarquable. En effet, en différentiant (2), on a

Z [x] =2 Çx

0(0:) et, en différentiant encore,

^ e"ix)&{x]—®'^x)

sn'x = ç — ; '

Si Ton fait alors j: = o, on a

e"{o) °-^ 0(0)' ou enfin

On a ainsi plusieurs expressions de la constante ^, que l'on peut considérer comme parfaitement connue.

ÉTUDE DE l'intégrale ELLIPTIQUE DE TROISIEME ESPÈCE

On peut parfois éviter la méthode de décomposition donnée plus haut. En voici un exemple : La formule [i4] donne

0(x + «) 0(^ - a) = ^ 0'(x) - ?lî^ H'(x); ^ ^ ^ ' 0'(o) ^ ' 0'(o) ^ '*

on peut l'écrire

0 x -f- rt 0 [x — a)=z ^ , ; ' I — *»sn»xsn'fl .

On en déduit immédiatement

En prenant les dérivées logarithmiques des deux membres par rapport à a, on trouve (en observant que su' a = dnacna),

i — A^sn^asn^x @[x-\-a) 0 (x — a] &[a)

Si l'on change les signes et que l'on intègre de zéro à Xy on trouve

r^ i^sna cnadnasn^x , 0'(a) i, Q'x — a) dx = X , ' H loii;

Cette intégrale n'est pas tout à fait l'intégrale de troisième espèce de Legendrc, mais il est clair qu'elle s'y ramène aisément. Jacobi la désigne par H (r, a). Ainsi l'on a

(ii3)

On en conclut, en changeant x en a el a en x, puis en

retranchant,

n Ix, a] — n [a, x] = X — — - — a — — - •

^ ' ^ ' ' e[ii} e{x]

On peut d'ailleurs s'assurer que les valeurs des logarithmes se sont détruites, en observant que l'on doit avoir une ideniité pour or = o, a = o.

C'est dans l'égalité précédente que consiste l'échange du paramètre et de V argument, proposition généralisée dans la théorie des fonctions abéliennes. On peut aussi l'écrire

n[x, a)— n(a, x) = xZ[a) — aZ[x).

EXPUESSION d'une FOKCTION DOUBLEMENT PÉRIODIQUE AU MOYEN d'une fonction DU SECOND ORDRE AUX MEMES PÉlllODES. THÉORÈME DE M. LIOUVILLE.

Soit/(j:) une fonction monodrome et monogène du second ordre aux périodes w et nr ; soient a et 5 — a ses infinis, s désignant la quantité constante à laquelle se réduit la somme des valeurs de z pour lesquelles/ (z) prend une valeur donnée dans un môme parallélogramme. Soit F (z) une fonction quelconque aux mêmes périodes w, tj; soient (3i, (Bj, . . . , (3^ ses infinis. La fonc-

tion ^. ■ ,'. — : intégrée le long d un parallélogramme

des périodes donne un résultat nul : la somme de ses résidus est donc nulle.

La somme des résidus relatifs aux infinis x ci s — x

*^^ Tï—' 77— T ^St