L. Fnart. cHipt

ou bien

h'{x) — Fix — x]

en observant que, /(a:) étant égal àf{s — .r),/'(a:)doil être égal et de signe contraire ^J^{s — x). La somme des résidus relatifs à F(a') étant alors représentée par

I r F{z)dz

on aura

le signe F placé au-dessous du signe f indiquant qu'oa ne doit intégrer qu'autour des infinis de F(z). Si l'on considère en second lieu la fonction

son intégrale prise le long d'un parallélogramme sera encore nulle, et il en sera de même de la somme de ses

f[z) résidus. Or la somme des résidus relatifs à ..■■., — r

est égale à

F(^)+F(5 — a;) — F(a) — F(j — a), et l'on a par suite

ou bien

F(x)+ ¥{s—x) = Y[ol) + F[s —a)

(ii5) La comparaison de celle formule avec (i) donne

OU bien encore

en posant F(z) = (z — (3)''0(z), fz désignant Je degré

de multiplicité de rinfini (3, Quand // = i, le symbole

: TT 7 ,« — . doit être supprime.

La formule (2) montre que toute fonction aux périodes w, cj /7e/i^ s^ exprimer rationnellement au moyen de la fonction du second ordre f et de sa dérii^ée.

On voit, en outre, que cette dérivée n entrera que sous J orme linéaire.

Ce théorème est dû à M. Liouville, mais l'expression (2) explicite de F, que nous venons de donner, n'est, je crois, pas encore connue 5 du moins on ne la trouve pas dans le Traité de MM. Briot et Bouquet.

Remarque, — La théorie précédente tomberait en défaut si F(j:) et/(x) avaient des infinis communs, maison tournerait facilement la difficulté en développant F(a:) divisé par une puissance convenablement choisie àcf[x).

APPLICATION DES COMSIDÊRATIONS PRÉCÉDENTES AU PROBLÈME DIT DE LA MULTIPLICATION.

Le problème de la muliiplication des fondions elliptiques a pour but de faire connaître snmx, cn/nj:,

(ii6) dnmo: en fonction de sn a:, en ar, dnj:. Notre formule (a) du paragraphe précédent résout cette question plus simplement et plus complètement qu'on ne l'avait fait jusqu'ici.

Soient k le module de snx, 4K. et i¥J \[^^—i ses périodes, m un nombre entier : ?,nm[x — a) admet évidemment les mômes périodes. Construisons le parallélogramme des périodes, de telle sorte que ses côtés coïncident avec l'axe des x et l'axe des j- positifs, puis déplaçons infiniment peu ce parallélogramme, en plaçant le sommet primitivement à l'origine, dans l'angle des coordonnées négatives.

Les infinis de sno: sont K'^'^ i et aK -j- K'^/ — i, ceux de snm (a: — a) sont

i el j variant de zéro h m — i. En faisant s = iK, la formule (2) du paragraphe précédent donne

snm[x — a) = snm K'y — i — a)

+ sn /n (K' V — I + 2 K — a)

■ç, , . , , sn'.r -f- sn'z

-j- 2 résidu, sn m (3 — a) .

sn.r — snz

Le résidu relatif à un infini |3' s'obtiendra en cherchant la limite de

,„, . sn'.r + sn'3' ï5n/n[p — a-\- zj

.r — snp'

r, . x,r, I / . \ ^ isn'x+sn'S'

=:zsn (2/-M K'v/— I + f?y4-i 2K + m3 y

— I sn'^r 4- sn'p' Asnmz sn.r — sn^'

( «'7 ) Cette limite est

I sn'x -+- sn' p' Am snx — snp'

L'infini (3" conduit au résidu

I sn'jr -+- su' ^" i5-/M snx — sn |i"

La formule (i) devient ainsi

2sn w(jr — * a)

, Ta/H- 1 ^, r

sn j:-1- sn' KV-

sn X — sn R y — i

sn'x — sn' K' V — I -+- (27 + 1 ^- «

^Am |2t^| 2K "1

sn r — sn KV — i + 2/ + ï) 1- «

En faisant a = o, on a la formule de la multiplication pour le sinus amplitude. On peut vérifier la formule précédente en prenant m = 1; on a alors

2/.sn(j; — a]

8n'xH- sn' [K.' yf^ -h a) sn'a: + sn'fKV— i -+- 2K-(- «) sno: — sn(K'v^ — i 4- «) snx — sn(K' y' — i + 2K n- «)

et si 1 on observe que sn'j: = cnxdna:.

en ( ar -+- K' V'' — I ) = — \/ — dn(a- 4- K' V --^) = — V "

dn.r Aiux'

— cnx I - — > aux

on trouve

gn X — <7 =

cnadnasnx — cnxdnvrsnri I — A'sn'xsn'a

Ainsi notre méthode donne aussi Taddition des fonctions elliptiques.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur la multiplication. La division aurait pour but de calculer sn - »

en — j ••• en fonction de snx, cnjc, dna:, .... Sans

entrer dans des détails à ce sujet, disons seulement qu'Abel a démontré que les équations d'où dépend la division des fonctions elliptiques sont comme celles d'où dépend la division des fonctions circulaires, résolubles par radicaux.

APPLICATION A l'addITION DES FONCTIONS nE TROISIÈME ESPÈCE.

Nous avons trouvé

, , e'ia) i , @{x — a)

n .r, a — ^— ;-- ^ + -log^ '-

@[ft) 1 ° Çi[x ->r a)

Si l'on désigne alors par a^, «g, . . ., «jn^i des arguments tels que

«,+«,-+- . . . + a3„+. = o , on aura

n(a,, «) 4-n(aj,a) -f- . . . -+- n(aj„^.,, a)

La quantité placée sous le signe log possède les périodes 4K et aK'y/ — i par rapport à la variable a\ on pourra donc l'exprimer en vertu du théorème de M. Liouviile en fonction rationnelle de sna et de sa dérivée sn'a ou cnaxdna. Nous ne donnons pas ici cette expression, qui est un peu compliquée.

DÉVELOPPEMEINT DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES EN SÉRIES TRIGONOilÉTRIQUES.

La formule de Fourier donne

snj;= 7 — y— — ; snze ^^ dz\

reste à calculer la valeur de l'intégrale qui entre dans celte formule. D'abord, en posant

snze ^^ ^/3,

on trouve, au moyen de la formule sn (2 K H- a:) = — snx,

.2K mT.\IZI\

sn z e * "^ ^/z

Xj ■+- 2 K m T. \/'^^\

— snzjt' -^ dz

sns[i — ( — i)"']t' ^^ " dz.

L'intégrale A,„ étant indépendante de oTo, on peut supposer 0:^ un peu plus petit que zéro. L'intégrale étant prise le long du conlour rectiligne Xq, Xq -h iK peut être remplacée par deux parallèles à K.'\J — i de longueur infinie, menées l'une par Xo et l'autre par .ro -f- 2K au-dessous de l'axe des a:, et par une parallèle à l'axe des x, menée à l'infini. Le long de ce nouveau contour, l'intégrale sera nulle; mais il faudra lui ajouter les résidus relatifs aux points — K.'^ — i, — 3K'y/ — I, — 5K'\J — I, . . . , multipliés par 2 7T^ — i. De plus, ces résidus seront pris dans le sens rétrograde.

Calculons le résidu relatif au point il est écal à

lim