CAS OU LE THÉORÈME DE CAUCDY TOMBE EN DÉFAUT

Cauchy a remarqué que son théorème tombait en défaut dès que la fonction f{z) cessait d'être finie, continue, monodrome ou monogène, et il a tiré parti de ces cas pour enrichir la Science d'une de ses plus belles découvertes.

Théorîeme I. — L'intégrale d^une fonction monodrome, monogène, finie et continue [ou synectique, comme Vappelle Cauchy) à Vintérieur d'un contour fetmé, est nulle quand on la prend le long de ce contour.

En effet, elle est égale, comme nous l'avons déjà observé, à l'intégrale prise le long d'un contour quelconque, ayant la même origine et la même extrémité, intérieur à ce contour; le deuxième contour pouvant être

pris aussi petit que l'on veut, puisque Torigine et l'extrémité se touchent, rintégiale est nulle.

Cauèliy appelle résidu de la fonction nionodrome, monogène et continue /(z), pour, la valeur c qui rend f[z) infinie, l'intégrale

prise le long d'un contour circulaire de rayon infiniment petit, décrit du point c comme centre.

Théokème il — Soient Rj, Rj, .... R„ les résidus de la fonctioji f[z) relatifs aux infinis Cj, Cj, . . ., c„ ,de cette jonction, contenus à V intérieur d^ un contour fermé où elle reste monodrome et monogène, rintégiale Jf{z) dz prise le long de ce contour sera égale à

Supposons qu'il n'y ait que deux infinis dans le contour, et qu'ils soient les centres des cercles bcd^ §ldj appelons en général (M) l'intégrale de f{z) le long du contour désigné par M.

Le conlour abcdaefgJnJjka constitue un contourfermé ne contenant pas les \ni\n\sde f (z) -^ donc [ahcdaej'ghifjka) est nul. Or

[abcdac/ghifjka] = [ab] -h [bcd] -\- [da) -+- [aef] -\- [fg]

le premier membre est nul; [abî^ = — [da]^ car ce sont l(.'s mômes intégrales dont les limites sont inversées-, de n«ême {fg)= — [if) et {fjlia)-\-[aef) est l'intégrale proposée; on a donc

0=[bcd)^{ghi)-hf/[z)dz.

Or {bcrl) est Tintcgrale prise le long d'un contour circulaire très-peiil décrit autour d'un infini, z marchant

Fie. 3.

dans le sens rétrograde-, cette intégrale est, au facteur

près :— ^» le résidu deflz) 5 donc

2 7rv' — I

ou

27r v/ — iRi — 27r \J — iRi+f/{z)dZf

Jf[z]dz='Xi:sl'^[Vi, + R,).