SUR LE PROBLEME DE LA TRANSFORMATION
Le problème de la transf<jrniation a pour but la comparaison des fonctions elliptiques correspondant à des modules différents. Exposons, d'abord, la théorie que Jacobi donne dans son ouvrage intitulé : Fundamenia nova theoriœ fanctionuin ellipticarum.
Si dans l'expression
V/A -I- B j: + C:c^ -i- Dx^ -f- E^*
on pose a: = - > U et V désignant des polynômes entiers enjy on aura
V/AV* -4- BV^-U + CV'U» + DVU' + EU*
et l'on peut, d'une infinité de manières, déterminer U et V, de telle sorte que le second membre de cette formule soit de la forme
dr
En efTeî, pour que dans le second membre de (4) le polynôme sous le radical se ramène au quatrième degré, il faut que ce polynôme, qui est d'un degré quadruple de celui de U et V, ne contienne que des facteurs doubles, à l'exception de quatre qui seront simples; on aura donc, en appelant T un polynôme entier,
AV* + BV'U -4- ... -f- EU*
le second membre de (i) se réduira alors à la forme demandée si l'on a
, , V^/U — U^/V 2) . — =: const.
Or, il en est ainsi quand U et V sont de même degré ou de degrés différents d'une unité. Soit en effet
A -i- B.r -t- Car' -(- Dx» -4- Ea:«
et par suite '
AV« -+- RV'U -H CV'U» -V- DVU' -f- EU*
— E(U — aV)(U— pV)(U — 7V)(U — 5V).
Les facteurs (U — aV), (U — pV), ... sont premiers entre eux, car tout diviseur simple de U — a V et de U — (3V, par exemple, sera diviseur simple de U et V, et, comme on peut supposer U et V premiers entre eux, les facteurs U — aV, ... le seront aussi. Or on a identiquement
— a(V^U —VdV) = (U — aVjrfU — U<f(U — aV);
il en résulte que tout facteur double de U — aV est facteur de Vr/U — Ur/V, car ce facteur appartient à la
dérivée-— (U — aV). i
En résumé, le polynôme AV* + BV'U -h . . . jouit de cette propriété que ses facteurs doubles sont aussi facteurs doubles de U — aV, deU — |3V, de U — y\ ou de U — (ÎV, puisque ces polynômes ne peuvent avoir de facteur commun, et, par suite, ses facteurs doubles divisent U^V — VJU. Si donc on suppose tous les facteurs de AV* H- BV'U + . . . doubles, à rexception de quatre d'entre eux, le polynôme T divisera
y du - VdV.
Si alors on suppose que V et U soient de même degré p^ ou Tun de degré p et l'autre de degré p — i , AV* -\- . . . sera de degré 4Pj T* de degré 4p — 4 et T de degré a^— 2;
jjdV — YdU
est évidemment de même degré, et, par suite, la formule (2) est satisfaite.
On pourra donc effectuer la transformation d'une infifaitéde manières, car on pourra d'une infinité de manières déterminer les coefficients de U et V, de telle sorte que AV* +BV'U ... ait tous ses facteurs doubles à l'exception de quatre d'entre eux, U et V étant de degrés différents de zéro ou de k.
Le degré de la transformation est le degré de celui des polynômes U, V qui possède le degré le plus élevé.
