TRANSFORMATION DU DEUXIÈME DEGRÉ

Nous n'avons pas à parler de la transformation du premier degré ^ on a vu que non-seulement elle réussissait toujours, mais encore qu'elle servait à la réduction à la forme canonique.

Si l'on veut opérer la transformation du second degré, deux des facteurs V — aU, V — |3U, ... devront être

des carrés parfaits, on devra donc poser

U — aV = {//ij -h m'y, U — pV -— («J -4- «']».

On en conclut

U — aV (mr-h ni'Y V—pV ~ {nr + /l'Y '

ou bien, en observant que - = x,

On pourra ensuite déterminer m, m','n^ n' de manière à donner à la nouvelle intégrale la forme canonique, mais nous n'effectuerons pas le calcul en disant toutefois qu'il existe deux solutions à la question.

MÉTHODE d'aBEL.

Supposons que l'on désire calculer toutes les valeurs de y rationnelles par rapport à x, et telles que

(i — jr')(i — X'J^) {i~j:»)(i — X'a:»)

Si l'on pose

P et Q désignant des fonctions entières de degré fz, à chaque valeur de j' correspondront /ut valeurs de x, et si Ton désigne par Xi elx^ deux d'entre elles, on aura

Si l'on égale à du les deux membres de la formule

précédente, on aura, si l'on veut,

x, = sn tt,

Xj= sn(aii: «),

ce désignant une constante 5 on peut se borner à considérer le signe +, car sn (a — m) = sn( 2K -f- u — a) et 2K — a est une constante. Ainsi, l'une des racines

de 1 équation j"= - étant représentée par snu, les autres

seront de la forme sn(/i -+- a). Si donc on pose - =^(^x),

on aura

identiquement, et, comme on a aussiy = ^J^(sna H- «), il faut en conclure

■^isnu) =ij^(snaH-a) = '^(snttH-2a)...;

par suite, les racines âey = ^ [x) sont

sn«, sn« H- a, sn« + 2a, sn« -+- 3x, ...J

mais les racines de l'équation en question sont en nombre limité au plus égal à |a : il est facile d'en conclure que les y. valeurs de x se décomposent en cycles

SHK, sn{M +a), ..., sn\^« -\- n — i a), sn«', sn(a' + a)> •••» sn\^u' + « — ia)> ï

n désignant un sous-multiple de (x. Si fx est un nombre premier, les cycles se réduiront à un seul. Nous examinerons eu particulier le cas où ^x est un nombre premier impair. Les solutions dey = ^(^x) sont alors

sn « , sn (« -h a ) , . , - , sn (m H- fx — 1 a ) ; mais, sn(u -t-(xa) étant égal à snu, il faut que fia soit

( i'-^7 ) une période; donc

a= - (4K/7J -f- iK'ns/— i ).

Mais l'équalion j'^ = ^[x) est de la forme

(A^— B^j^)xi*-f- ... H- Ao — B„j = o;

on en déduit, pour le produit des racines,

, A„ — Boj

XiXj . . . Xu, — — !— -- ,, y

A^ — ivr et pour y une expression de la forme

a' H- «.riXj . . OTa

b' -+- bx,Xj . . . Xji On peut simplifier cette expression -, on a en effet

Xi =sn(«-Hi — la),

x^i =: sn{u -h itcc — i — I a) = sn ( « — / — i a) ,

car (J-a. est une période, et, en faisant usage d'une formule connue,

sn'a — sn'(/ — i)a

•^''^'^-'~ I— yt'sn'usn'(i— lya' on a donc

snK(sn»a — sn'a)(sn*« — sn*2a), . . (sn'« — sn^^- a\

(i — A'sHHsna) ... ( I — ^-snasn^-^ a\

Le produit x, a*,. . .a:^ est ainsi exprimé à l'aide de la seule racine x^ = snu. Alors/ prend la forme

a' -\- af{x,) ^~ b' -hb^{x,)'

ÏKANSFOUMATION DE LANDEW.

Considérons un demi-cercle tracé sur AB=2R comme diamètre ; soient O son centre, P un point fixe pris sur AB, M un point variable de la circonférence, soient OP = «, MPO = ^, MAO = o. Supposons que le

point M se déplace infiniment peu et posons MM' = ds,

nous aurons

, , c/s sinM'PM

MP sinPM'M

dsz=-2:Rd^, MP= /l\' -f-a'-F2rtRcos2ï>, M'Py\=d-^,

et MM'P est égal à - plus l'angle que OM fait avec MP ouPMO; (i) devient alors

v/R'-f-a^4-2flRcos2<p cosPMO Si l'on observe alors que

sinij< sinPMO

RsinPMO = «sini}<, R'cos'PMO = R^ — fi'sin'I/,

( '^-9 ) la formule (2) deviendra

2 (I<3 d'if

V^R' + rt^ -1- 2aRcos2y V^R»— «'sin'i{*

ou bien

idif d'if

V/(R H-a)» — 4rtRsin^ ~ y/R» — «' sin'i};

ou enfin

2 R rff //t}»

R-f- fl

Posons

et nous aurons

. 2R ^<? dif

R4-« ^i /Jsin'.j) \Ji—k\ûxi'^

Le triangle PMO donne d'ailleurs

a sin(2<p — -if)

R ' sin\î<

d'où

I — /•, sin-ij^ — sin(2cp — -if) I -\- kx sin i|> + sin ( 2 y — i/] ou bien

(5) I — X, tang(^— y)^ ' 1 -1- /-, t«ing« '

d'ailleurs les équations (3) donnent

Cl la formule (4) devient

, . n ±___Jl__^ r* d^ .

Jo » + ^i v^i — X'sm'(p Jo V^i — /îsin'^ L. Fonct. cllipt, 9

{ i3o ) Voici comment on fera usage de ces formules : supposons que l'on veuille calculer

0 \Ji — /•' sin'if;

on calculera à l'aide de (6) un nouveau module A", et à l'aide de la substitution (5) (que l'on n'aura pas btsoin d'elTectuer réellement si l'on n'a pas besoin de faire un calcul numérique), on convertira l'intégrale proposée en une autre de module /r, donné par la formule (6). Il est facile de prouver que A"<!^i5 en répétant alors la substitution, on peut ainsi obtenir ce que l'on appelle une échelle de modules de plus en plus voisins de unj on pourra donc développer l'intégrale suivant les puissances de I — Â", et l'on aura une série très-convergente. Je dis, en eilet, que /r<^A", : c'est ce que prouve la

formule (6), car la moyenne arithmétique ^ de i

et hy est moindre que leur moyenne géométrique \fk[ : ainsi /r<^ i -, donc ou finira par rendre /i<^i. Supposons déjà Aj <:^ I, on a

donc r^V^^^*5 ainsi /c]>A'i, mais A <^ i :

donc, etc.

On peut donc aussi se donnera et calculer h^ 5 si alors h est moindre que l'unité, on aura Aj <I A, et l'on obtiendra des modules tendant vers zéro 5 quand k sera très-pelit, l'intégrale elliptique développée suivant les puissances de h sera rapidement convergente.

Il est facile de voir que, si l'on pose

k = sin9,

on aura

Al = tang» -»

tang(i}* — î) = cosOtangy, ce qui simplifie le calcul logarithmique.