SUR LES APPLICATIONS DES THÉOB.IES PRÉCÉDENTES

Nous avons vu que toute intégrale d'une fonction rationnelle de X et d'un radical tel que

^ax* -+- bx^ -\- cx"^ ■+- dx -f €

se ramenait à trois types simples ne renfermant plus que le radical

Ce radical, dans lequel A, m, /«' peuvent être supposés réels, comme on l'a vu, si a, b, c, d, e le sont euxmêmes, peut se ramener au suivant :

V^(l-x')(i-A-'x'), en faisant sortir A de dessous le radical et en posant

mx* = — z* et = A* : mais alors k n'est pas néces-

sairement réel. Je me propose maintenant de montrer que l'on peut toujours supposer k réel et compris entre zéro et i, ce qui simplifiera évidemment la construction des Tables des fonctions elliptiques.

D'abord, on peut toujours supposer A = d= i en faisant sortir sa valeur absolue de dessous le radical; enfin, on peut supposer m = rti, en posant Xsjrn = z^ si m est positif, et xsf-—rn-=- z, si z est négatif. Ainsi nous pourrons toujours supposer /» = ± i et m' = ± A*. Cela

posé, on a vu et l'on vérifie très-facilement que, en posant A'* = I — A%

snx

z ■=■ (Inx,

2 r= tn,r,

tax

z = cna;,

cru:

-xy-(,-

dx dr

\J[i-hz^][

'dLT~~~

dx ~~

Dans ces formules, on peut constater que le radical est partout de la forme

Sj±[i±z^){i±k\z%

et que l'on y rencontre toutes les combinaisons possibles des signes avec toutes les valeurs réelles et positives de A', en supposant A^«<|i, trois combinaisons exceptées, à savoir

mais la première est impossible si le radical doit être réel, et les deux autres rentrent dans les lormes (7) et

(8) par le changement de y^ 2 en 2 ou de — z en z. Nous

n'en parlerons donc pas.

Il résulte de là que toutes les équations de la forme

dz 1 —

— = A V=t ( lit /« 3' ) ( I zt m'z^ )

s'intégreront par les fonctions elliptiques, et que toute intégrale de la forme

/F [2, v^±:(H-/îiz')(n-«iV)]f/2 se ramènera à la foi:*me

ff[z, ^[i-z^)[,-k\z-)]dz, où Ton aura

Montrons sur un exemple la marche à suivre pour opérer cette réduction. Supposons qu'il s'agisse de l'in-

tég

raie

JsJV^

posant,

^"1 2 = ^, on aura

dX,

posera

[voir formule

k\ I - A'' d'où

ell'

on aura

On en conclut que X, est égal à en ( // -f- const. ] , cl

par suite que

V^ I — Ç' = sn f 7" " "^ const. | .

Si donc on pose

z sera le sinus amplitude d'un multiple de m, et l'intégrale u sera ramenée à la forme voulue

£ r dz

La méthode de réduction que nous venons d'indiquer a, sur celles que l'on enseigne, l'avantage d'être purement analytique; elle se retrouve facilement: si l'on n'indique pas la marche qui conduit aux substitutions à eflectuer, on peut hésiter longtemps avant de les retrouver. D'ailleurs, notre méthode a l'avantage de donner immédiatement z exprimé en fonction de ii au moyen des fonctions sn, en, dn.

Voici d'ailleurs les substitutions à effectuer dans les différents cas pour réduire l'intégrale

à la forme

Jf[z,^[i-z^)[i-k^z^]]dz ou /•<!, d'après MM. Briot et Bouquet, i" édition, p. 194.

( i35 ) 1° A posilîf, m = — /i*, /// = — /i'*, h^h', on pose

2" A posiiif, j)i = — A-, ni' = /i",

lix z=z y/ 1 — 2*.

3° A positif, m = h% m'= //% A >//,

4° A négatif, m = — A% ;//= 7^'% hjc = «

5" A négdlif, 7/^ — — h'^^ m' = — /z'*, A > A',

Quand on a ramené le radical à la forme voulue, il

reste encore à calculer les quantités que l'on a désignées

par K et K' et dont dépendent les périodes. A cet eflet,

!i' on calcule d'abord la quantité q = e "^ j on part pour

cela de la formule

0(x) Si l'on fait x = o, on a

On pourra résoudre cette équation par la méthode du retour des suites. Quand on connaît^, K se calcule facilement, et, en effet, on a

sn X I H (.r)

( i36 ) et, pour X = o,

^ ^ j__ H'fo]

En faisant, dans l'expression de snj:, x = K, snx devient égal à 1 , et l'on a

donc

lV(o)&{K]

Remplaçons H'(o) = lim ^ pour x = o, 0(K), H(R)

ei 0(o) par leurs développements en produits, nous aurons

2K.^ (i-y^)^(i-7^)»... (i + 7)>(i-f-y3j2.., ou

i^ ^ (ilL£:)(L- •7'):ij: (i -f-y) (i -4-y^). ■ . (i-y)!'-?')--. (t + 7')(n-^')-.-

On a donc finalement

d'où l'on conclut K.

Mais il est clair que l'on pourra aussi calculer K et K' par les formules

( i37 ) en les développant en série. Si h est voisin de l'unité, K sera donné par une série peu convergente; mais K' sera alors donné par une série très-convergente. Pour augmenter la convergence des séries, on pourra employer la transformation de Landen.

Le développement en série de K, par exemple, se fera comme il suit :

Jo v'i»

= ^[,+^iyx.-^(iifV/;^ + (^-^VA«