FONDAMENTALES
Dans les applications du Calcul intégral, les foncticrns trigonométrifjues se présentent sous leurs formes inverses quand on ne les introduit pas directement dans le calcul sous leur forme normale. Il faudra donc nous attendre à rencontrer par analogie les intégrales elliptiques avant les fonctions directes : aussi allons-nous revenir un instant sur ces fonctions inverses.
Nous avons posé
i/o y I — A'sm'flp et de là nous tirons '
sin!p = 5nF, f = amFy
Nous poserons encore, avec Legendre,
(2) j drf y/i — A'sin»7 = E (ç) =: E (y, *).
La fonction (i) est l'intégrale de première espèce, l'intégrale E(^) est l'intégrale de seconde espèce de Legendre : elle diffère de celle de Jacobi. On a
«/o v^i — X'sin^çp Jo v'i — A-'sin'ç
La seconde intégrale est celle de Jacobi, qui se réduit
sn^xclx quand on fait sincf = sinamo:; o
nous la désignerons par J (ç), de sorte que J (amor) = Z (x) 5
nous aurons alors
La fonction elliptique de seconde espèce E(cj») représente un arc d'ellipse dont les coordonnées seraient
a: = «sincp, y =z bcosf,
(jp est alors le complément de l'anomalie excentrique, et l'on trouve
(is'=aa<fi/ I — sin^y,
et^ par suite, en prenant a pour unité, et en faisant
ds := dtf \/ 1 — A^sin'y; on a donc
ce qu'il fallait prouver.
Si, pour évaluer l'arc d'hyperbole, on posait
eV — et e^ -h c ^
on trouverait
Par une suite de transformations, on finirait par ramener celte expression aux fonctions elliptiques, mais il est plus simple de suivre une autre voie pour évaluer l'arc d'hyperbole-, nous prendrons l' équation de cette courbe sous la forme
ou
a * Si l'on forme l'élément d'arc ds = \Jdx^ 4- dj*^ on
trouve
ce que l'on peut écrire, en posant d'abord - = x',
2 I H x" 1 a dx'
ds =
0,, ...,(, H. 'iiii'...)
après quoi, conformément aux règles que nous avons données pour la réduction des fonctions elliptiques, nous poserons
nous aurons alors
dx" a»
ds — - -
Posons
et nous aurons
ds z=z •
Nous poserons
l'arc d'hyperbole sera donc représenté par aT((j}) et simplement parT((ji), quand a sera Tunité. La suite des transformations que nous venons d'effectuer revient à faire
Tî ^ = '
