X := ax' = a\J i — X^ tang

y/l /= cosçp

COMPARAISOJS DES ARCS d'eLLIPSE ET d'hYPETIBOLE.

Nous continuerons dans ce paragraphe le numérotage de formules employé dans le précédent et nous prouverons d'abord que la fonction T se ramène à E et à F (il est bon de remarquer que T est un cas particulier de

( '45 ) l'intégrale de ti'oisième espèce) -, on a

'o cos*«py'i — /'sin'cp

Si Ton observe alors que

, —-. — , / I /'tane'ç A^'sin'jpN

dlaTlg<f\/l — A'Sin'o(=: rtçpl . )

\cos'<pV V V^ /

|- (!-/{») P sin>-|

on aura, en intégrant et en ayant égard à (i), (2), (3),

(5) tangçy/i — ^■■'sin'y =Y((p) -i- {/c' — i) F(9) — E((p) :

la fonction T {(f) se ramène donc à F((p) et à E((})).

Mais on peut aller plus loin, et exprimer T((p) au moyen de deux fonctions E d'amplitude et de modules diirérents. Ce théorème sera démontré si l'on prouve que F{(p) peut être évalué en fonction de deux fonctions E5 ce théorème célèbre, en vertu duquel un arc d'hyperbole peut être mesuré par deux arcs d'ellipse, est dû à Landen et porte son nom.

Or la transformation de Landen permet d'écrire

da, I -\- A dfo

V'i — XJsin'ç, ^ V^' — -^'sm'y

et la relation qui en résulte pour les angles <f et <p, peut s'écrire

(7) sin'ip, = -(i + Asin'ç) — cos(py/i — A»sin»(j»);

d'ailleurs.