CALCUL DES RÉSIDUS
Avant de montrer comment on calcule le résidu d'une fonction, nous allons revenir un instant sur la règle de la différentiation sous le signe y. Cette règle est encore applicable quand on s'adresse à une intégrale prise entre des limites imaginaires, puisqu'une telle intégrale revient à une autre prise entre des limites réelles. Enfin cette règle est encore applicable quand la variable par rapport à laquelle on dillérentie est imaginaire. En effet, difïérenlier une quantité 11 par rapport à
x-x-Y\J — 1, c'est calculer le rapport
Au d« ,
— dx-\- — dx
dx -k- djr ^ — I
Ce rapport est indéterminé (excepté si m est une fonclion monogène), et, pour en préciser le sens, on doit
donner le rapport -7-» ou, si l'on veut, on doit supposer X et y fonctions données 9{t), ^ {(■) d'une même variable t. et se donner — - et -7- • On diflerentie alors le ' dt dt
long de l'élénient {dx^ dy) appartenant à une courbe dont les équations sont x = (j)(f), j' = 4* (^) î on a alors l'expression suivante de la dérivée de u
au , , . Au .
f -f-f v^— I Si l'on veut alors dilFérentier l'intégrale
, ) (. Au Au ,
par rapport a x-\"j\l — i, on lormera -j— , j- par la
règle ordinaire, et l'on aura
dV
d(ar4-jrV— i)""*^ T' + f\/-
ou
dV
r Af
7) J A{x+ysl^^i)
A[x-\-jr\J —
et l'on voit que l'on différentie par rapport a un para-* mètre imaginaire comme par rapport à un paramètre réel.
Lorsque la quantité qui se trouve placée sous le signe ^ est monogène par rapport au paramètre, on peut raisonner encore plus simplement en faisant observer que
-==z. est égal à -T-» et que dilTérentier par rap-
d(x-t-7-v/— 1) ^ Ax ^ if V
port à X -h/v^-— I» c'est en définitive tlifférenlier par rapport à la variable réelle x.
Cela posé, calculons d'abord le résidu de la fonction
<pfz)
» » (z) étant supposée finie et différente de zéro
pour z := c ; ce résidu est
et l'intégrale est prise le long d'un contour circulaire infiniment petit décrit autour du point c comme centre. Soit e le rayon de ce contour, on pourra poser
(2) z = c + ee'v/^,
et faire varier 0 de o à au. En effet, la longueur de cz
Fig. 4.
étant désignée par e, et e restant constant, le point z décrit le cercle de rayon s et de centre c. L'angle B est l'angle zcX que zc fait avec l'axe Oj:, et, quand le point z décrit le cercle, ô varie évidemment de o à 27r. De (2), on tire
f/2 = eeV-' dO.sj — i-^
(i) devient alors
Or R est indépendant de la longueur du rayon e, qu'il
( 1 5 ) faut du reste supposer infiniment petit; donc, en faisant £ =r o, on a
On voit donc que, s\f[z) est une fonction telle que
pour z = c, soit une quantité finie différente de zéro, cette quantité sera précisément le résidu dej'^z) relatif à son infini c.
Reprenons la formule (i), et remplaçons R par cp(c), nous aurons
(A — ^ flifl^
et, en différentiant m — i fois par rapport à c.
on a
donc
27rv' — I J (z — cj'" 1.2 3...(m— ij'
et Ton a ainsi le résidu d'une fonction de la forme
~— 1 où ^[z) est finie et différente de zéro pour
z = c, et m entier et positif. Dans la suite, nous ne rencontrerons que des résidus de fonctions de cette forme.
APPLICATION DES PRINCIPES PRÉCÉDENTS A LA RECHEKCHK DES INTÉGRALES DÉFINIES.
Proposoiis-nous d'abord de trouver la valeur de l'intégrale définie suivante, dans laquelle a est un nombre positif,
SMK/X
( »G ) A cet effet, nous prendrons l'intégrale
dz
le long du contour suivant formé : i° d'une droite ga allant de — co au point a voisin de zéro ; 2" d'un demicercle irès-petit ahc^ décrit autour de l'origine avec le
Fig. 5.
K^ rfj
rayon r; Z^ d'une droite allant de c vers -h 00 \ 4° d'une perpendiculaire de à l'axe des y^ située à l'infini 5 5° d'une parallèle ef k l'axe des x, située à l'infini 5 6'' d'une perpendiculaire ^^ située également à l'infini; nous aurons, en supposant a positif,
iS'«
-r gaxs/-x ^j.
iz\f^i
[abc) = — - 277 V — I . résidu de ^- = — tt y -
rfe]
[ef) = [fs)=o.
Le contour total d'intégration ne contenant pas d'in-
fini de
-} l'intégrale prise le long de ce contour est
( 17 ) nulle ; donc
Or la première intégrale devient
quand on y change j: en — x; et par suite
dx =z Tt sj — I,
OU, pour r = o,
%\nax 1 y/ — I
t 3111 crU/ ,
1\J — I dx = Tt J I ,
ou
enGn
' dx-=: — et / «.r = TT.
o ^ 2 J^ ar
'o La fonction
smax ,
ne contient donc pas a, mais elle en dépend; en effet, en changeant le signe de a, elle change de signe; cela s'explique, car, en posant ax = z, on a
f-*-* sin«.r^ r±=« sinz , f dx = I ■ dz.
J-00 ^ Jqz'^ 2
Si nous intégrons Je~'^fîz le long de l'axe des x et d'une parallèle à cet axe située à la distance a, et si nous fermons ce contour par deux parallèles à l'axe des }^ situées à l'infini, nous trouverons zéro; or les intégrales rcla- L. Fond, cllipt. 1
( i8) lives à ces parallèles à l'axe des y sotil nulles, ce qui se voit en écrivant notre intégrale ainsi ;
on a donc
on en tire
