L. Fond. elUpt

( ,46 ) Si nous multiplions membre à membre (6) et [y], nous il (irons

-J(>t„y.) = -— - J{/,-,<f)-\ — - F(/-,ç) j~ sino,

ou, en vertu de (3),

mais la formule (6) donne

en remplaçant alors F(Zri,a)i) par cette valeur, on a

F(A-,<p)=--^^=.[E(^,y)-(i -f-XjE(X„<p.) + A-sinçp], V' I — /-j

ce qui démontre le théorème énoncé.

scR l'audition des intégrales de première espèce.

Les questions traitées ci-dessus, quoique se rattachant à la théorie des fonctions elliptiques, pourraient se traiter sans avoir aucune notion de ces fonctions; il était bon de les signaler, parce qu'elles ont fait naître des recherches ultérieures et ont été le point de départ de la théorie: on saitqu'Euler avait deviné l'intégralealgébrique de l'équation d'où dépend le théorème de l'addition des fonctions sno:, cna:, dn.r. Il convient de faire connaître ici une méthode géométrique due à Lagrange, qui a diî contribuer pour sa part à faciliter les premières recherches.

( M7 ) Soienl cf, ^, ix les côtés d'un triangle spliérique el G l'angle opposé à ^; posons

sin'C

k\ cosC — ±:\/i — /^^sin'tt.

sin'p '

Supposons acluellement que l'on fasse varier çp el 4* en laissant |:ji constant, ainsi que l'angle C, nous aurons

(i) cosi/ = cos-p cos'vj' di siny sinr]/^ I — X'sin'fx;

mais, le côlé ^ variant seulement de position, ses extrémités décrivent sur les côtés (p et t|/des éléments d<f et r/ip dont les projections sur jix doivent être égales. En etïet, soient AA'et BB' les positions voisines du côté/a, si du point O où se croisent ces positions, comme pôle, on décrit les arcs BC, A'C, comme OB = OC, A'O = C'O, il faut bien que AC = B'C'. Or

donc

ou

mais

AC = (If cos{f. Il), B'C' = d^^cos{'^,a): tl<fCOs{f, ft) = d-^ cos(^, p),

d<f^i — sin^ (y, [t.) = d^^i— sin'(^, ft) ; sin (<p. II) sinC

donc

sin ^ sin ^i

sin(<p, f*) = X- sinij; La formule précédente donne alors

(2) d<f^i — AHm'^z=±d'^^i — X'sin»^.

l^a formule (i) est donc l'intégrale de celle-ci, fxy est constant; si l'on fait alors «/^ = o, on a lJ- = f. Si l'on écrit (2) ainsi

( «4^ ) ou

F{n) désignant la conslanie, ut se réduira h ijj pour«|;= o, et (i) sera équivalente à la relation transcendante {4)i la formule (i) devant avoir lieu pour fiz= o el(f= — 4*1 il faudra alors prendre le signe — devant le radical. Que l'on fasse cj) = ain«, «|;= an\^, |:j(. = am(rt -f- ^), on aura

alor3

en (a -f- ^) = cnflcnè — snasnèdn(« -f- 6).

Cette équation, combinée avec les suivantes :

cna = ^/i — sn'a,

dn« = v^i — /,'sn'a,

fera connaître cn(rt-4-è), dn(a -H b) et sn[a-\-b) : on retrouve ainsi les formiiles fondamentales de l'addition des fonctions elliptiques. On peut retrouver ces formules en cherchant les lignes de courbure des surfaces du second ordre : c'est ce que nous allons voir.

LIGNES DE COURBURE DE l'hYPERBOLOÏDE.

On peut considérer les lignes de courbure de l'hyperboloïde gauche comme les lignes bissectrices des génératrices. Or les génératrices ont pour équations

- ■= - cos» + sino, - = - sinil) — cosil, a c ^ ^ a c '

•- = -sm(p — cos«B, -7- = - cos^'-f- smii. b c ^ ^ 0 c

Les paramètres (j) et t|; servent à caractériser une génératrice; en les prenant pour variables, les équations différentielles des lignes de courbure prennent la forme

équations

dans ]

esquelles on a

/(l.ry ~ \dcpj

/tir

(àxy

eu effectuant les calculs, on a

ou bien

^i — sin'(j) v'ï — sin'ij/

d'où l'on conclut Téqualion des lignes de courbure sous forme finie. Il est assez curieux que l'on puisse ramener ainsi aux fonctions elliptiques la solution d'un problème résolu par une loul autre voie.