THÉORÈME DE PONCELET
Voici encore une inlei prélation très-curieuse du théorème qui vient de nous occuper ; considérons deux ceicles intérieurs l'un à l'aulre; soient R et r leurs
rayons et PQ, PQ' deux tangentes infiniment voisines menées au cercle de rayon r*, soit 00' la ligne des centres
arcAP^îyR, arcAQ = 2\j;R.
( .5o ) On aura
mais les triangles semblables PP'M, QQ'M donnent PF MP MP
ainsi
d<f MP
or, à la limite, le point M vient sur le cercle r au point de contact de PQ, et l'on a
MP'=zÔT' — r'' — R' ^ a' — r' -h iRa cos9.f, MQ'=(yQ' — r2=R-4-a^— H+'iRacos2iî*:
on a donc
r/cp / R^ -4- «î — r' -f 2«Rcos2^
r/ij< V R^ + "' — f'' -+■ 2«Rc()S2n!;
/ {Bl-\- ay ~ r" — 2aRsin'y^
~ V (R -{-«]=' — r'— 2rtRsin^t;/ Si l'on fait
(R+rt)^— r^ on a l'équation connue
d'où l'on peut conclure une construction géométrique de son intégrale. Mais on peut en déduire un résultat nouveau.
L'équation précédente devient, en intégrant,
( i5i ) ot u est la valeur de ^ pourçp = o. On voit que fx ne dé- |K'nd ni de (p ni de tf/; si donc, à partir du point cj), on mène une seconde tangente QR au cercle intérieur,'et
si l'on pose AR = 2j(, on aura encore, en posant
I— /.^sin'ip= *, 1 — X'sin'^î/ = H', •••» i— ^'sin'f* = M,
en menant par R. une nouvelle tangente RS, on aurait entre l'arc 2 0 = AS et l'arc 2p^ une relation analogue:
les intégrales / -^ / -n» ... forment donc une pro-
Jo ^'^ Jo H
gression arillimetique dont la raison est I -j^-'
Supposons que le polygone PQRST soit fermé et que le point T coïncide avec A, le dernier des arcscj), t^, X» ••• sera de la forme 9 -+- 2 «tt. En ajoutant alors les foiniules, telles que (2) et (3), on a
J(*? dnf r? -h nit dif n
ou bien
dy ^i — *'sin'<p
Ta* diJ.
donc le premier membre de celle formule ne dépend pas de o; donc :
S'il existe im polygone de m côtés inscrit dans un cercle et circonscrit à un autre, il existera une injinitè de polygones de m côtés jouissant de la même propriété.
Ce ihéorème est évidemment projeclif et s'applique aux coniques : il a été découvert par Poncelct; la démonstration précédente est de Jacobi.
ADDITION DES ARCS d'eLLIPSE. — THÉORÈME DE FAGNANO.
Nous avons posé
Z{x]z= j /.Hn'xdx.
Nous aurons alors
' kHn^ {x + y) dx = l li^sn" [x-{-y) dx
— j k'sn-ydjr ou
f k-su^x+y)dx = Z[x+y)-Z{y), J o
k^sn'[x-y)dx = Z{x-y) + Z[y).
Retranchons ces formules l'une de l'autre, en ayanl égard aux relations
/ , ^ . / , 2snx cny dny
sn [x -\- y) -\- sn Ix —y) = ^ ,
sn (^ 4-r ) - sn {x~y) = ^ ^--____^^ ,
2snj cn.r dn.r I — A'' sxi'x sn*j '
( i53) nous aurons
■4^' snx sn/ cnx en/ dn.r tin j'
— dx
(i — X' sn'j: sn'jj^
Le premier membre est une dérivée exacte, si l'on observe que 2snj:caj:dnx est la dérivée de sn'x, cl l'on a
2snvr snr cnr dnr „, , „, > „,
-^ ^= z -r + r — aZ r — Z^r — r).
Si l'on pose alors
«p = amx, ij^r^ramj, [i ^=. &rti [x -h y), v:=am(jc — j), et si Ton observe que Zu devient J(am«), et que
la formule précédente devient
2sin'<p sin>}> cos-if \l \ — X' sin'\î; 1 — /-^ sin'ç sin'y
et comme F(/x) = F((^) -f-F(v{>),
2sin-«> sinrj/ cns-if sJ i — X ' sin*ij» ^, , ^ , ^ „,.,
I — /■' sin'y sm'^j< ^'^ ' ' ^^ '
si l'on échange (j) et ^j>, |x ne change pas, v se change en — v et le second membre devient — E(/Ji) — E( v) -h 2E(cj)). En ajoutant alors à cette formule celle que l'on obtient en changeant (p en 4», et Wce versa, on trouve [eu égard à la formule qui fait connaître sn [x -\-jY\ *
E(f ) -»- E(\{») — E(ft) = Â-' sinf sinij< sin^.
On obtient le théorème de Fagnano en posant a = -;
( '54 ) alors T^{yi.) est le quart d'ellipse; nous le désif^ncrons par E et nous aurons
(i) F(.5)) + E(^) — E = /-' sin^ sini|/.
F.ntre les angles 9, ^, fjt, on a la relation
cas y. = CCS y cos^ -p- sincp sin^}; ^i — X-sin'|!X. Si alors on fait |u = -1 on a
o = cos(5> cosi}< — siny sin;}^ y/ 1 — X-'
ou
(2) tangç tangi}* = — ou b tangç tang^}; = i.
La formule (i) montre que, si les arcs d'ellipse E((j)) et E — E(i{^) sont tels qu'ils coriespondent à des anomalies 9, 4* satisfaisant à la formule (2), leur différence est rectifiable. Les équations de l'ellipse sont
X = sin '^, y = \^/ i — /, foso = b cosij).
Si l'on cherche la distance / du point cj> de l'ellipse à la perpendiculaire menée de l'origine sur la tangente, on trouve
^ ^'tangy
s/ [bH-dn-^' -+- i) (n-tang'îp) En chassant les dénominateurs, on trouve une équation du quatrième degré en tang(5), à savoir
b'' tang*<p -4- tang^çp li -h b^ j + i = o •
Soient cf et ^{> les deux solutions de cette équation, on en
déduit
b taugip tang -^ = i.
L'identité de celte formule avec (2) montre de quelle
( '55 ) façon doivent être construits les angles ç et ^. On voit ciuc les arcs K(cj)) et E — F. (^j;) auront une différence rectifiable, s'ils sont choisis de telle sorte que les normales menées par leurs extrémités soient à des distances égales du centre de l'ellipse.
SUR LES ARCS DE LEMNtSCAïE.
La lemniscale est, comme l'on sait, une courbe telle que le produit de ses rayons vecteurs issus de deux points fixes est constant. Son équation en coordonnées polaires est, en prenant pour axe polaire la droite qui joint les points fixes et pour origine le milieu de celte droite,
r* — 2 «' r* cos 7.0 -\- a* z= b\
ia désignant la distance des points fixes et b une constante.
M. Serret, dans un Mémoire inséré au tome ^ III du Journal de M. Liouville, a montré que toute fonction clliplic|ue de première espèce pouvait être représentée par deux arcs de lemniscate. Voici son analyse ;
Soit - <] I , la courbe se compose de deux branches
distinctes. On pose — = sinai]^. Soient s\ et a\ les deux
arcs de lemniscate, dont les extrémités ont pour angles polaires ô, etô,, on a
®' VCOS2Ô-I- v'cOS»2Ô— 0OS'2^î»
^ t/Q V COS'2Ô — C0S'2\}*
1,1 /»^IVC0S2 9 — \/tOS'20 — (•OS»2v{»
V COS» 2 9 — C<)S'2iI»
( '56) On déduit de là, en ajoutant et en retranchant,
^' flO
Q v'cosaô — cosa^j»
^g V^ COS2 0 -+■ C0S2i{;
Si l'on pose, dans la première formule,
sinô = sin4» sinç,
dans la seconde,
sin6 = cosi|/ sinç, on a
5; + ai = — [F (sin4-,cp, ) - F (sinJ-, çpj] 5: — a: = ^ [F (cos,;»,ç,) - F (cos,i;,7j].
On voit que les modules de ^Jh-ct^ et de si — a^ sont complémentaires.
Un calcul un peu différent conduit aux mêmes conclusions quand on suppose -^15 mais alors ce sont les
arcs correspondant à des rayons vecteurs perpendiculaires qu'il faut désigner par 5J, g^.
La lemniscate de Bernoulli est la plus célèbre ; elle a pour équation
r' = Q.a^ cosaâ.
L'arc de cette courbe est donné par la formule
as = ■ •
\l ces 2 ô
Si l'on pose
sinO = —= sin(5>, v'2
( '57 ) on a
ds:=.a
On en conclut, en comptant convenablement l'arr,
ou bien
s On trouve aussi
= a F -D arc sin (y/a sinS) y
la-dr
