AIRES DE QUELQUES COURBES

La quadrature d'une courbe du troisième degré ne dépend absolument que des fonctions elliptiques*, pour nous en convaincre, plaçons l'origine sur la courbe: l'équation de la courbe sera de la forme

?n Çïi ©3 désignant des polynômes homogènes de degrés I, 2, 3. On peut l'écrire

et, en posant

on a

^'?3(i.') -f-2J-çp,(i,/) + «p,(i,r)=o.

On en lire

— <p, ±v/y^ — «PiT3.

( .5M ) en appelant alors R l.i racine d'un polynôme du quatrième degré, on voit que x est de la fbrmey(/,R), où^

désigne une fonction rationnelle; — et y= tx seront

de la môme forme, et par suite l'intégrale

ne dépendra que des fonctions elliptiques.

Lorsqu'une courbe du quatrième degré a deux points doubles, on peut aussi exprimer son aire au moyen des fonctions elliptiques. En effet, au moyen d'une transformation bomographique, on peut transporter les deux points doubles à l'infini : soit

l'équation de la courbe ainsi transformée ; on peut supposer que z = o, j;=o et z = o,^=:o soient les coordonnées des points doubles. Quand on fera

dans les formules

^=0 ^=0, ^=zO,

dx ' dj" ' Az

elles devront être satisfaites; les dérivées des termes du quatrième degré en x ely devront donc s'annuler pour X = o, ce qui exige que le terme en /* et le terme en xy'

soient nuls; la dérivée -j- étant nulle pour x = o, il faut

que le terme en x^ soit nul également 5 on verrait de même que les termes x'j', et x* ainsi quej^", disparaissent. L'équation de la courbe prend donc la forme