POINTS DOUBLES

On sait que -{m — i) (m — 2) est le nombre maximum de points doubles que puisse posséder une courbe d'ordre m.

Une courbe (V ordre m qui possède - (m — i) [m — 2)

points doubles est quarrable par les fonctions algé" briques et logarithmiques [y compris les Jonctions circulaires ini^erses).

II suffit de prouver que Vx et Vy de cette courbe sont fonctions rationnelles d'un même paramètre Xj pour y

parvenir par les - (m — i) [m — 2) points doubles D de

la courbe

d'ordre /n, faisons passer une courbe d'ordre m — 2. Cette courbe est déterminée quand on l'assujettit à passer par

-(m — 2) (w-Hi) points; or, elle passe déjà par

- [m — i) (m — 2) points D : on peut donc l'assujettir encore à

conditions. Nous l'assujettirons à rencontrer la courbe (1) en m — 3 points fixes que nous appellerons A*, elle contiendra alors dans son équation un paramètre arbi-

( 'Co ) traire X, et cette équation sera

Mais cette courbe (2) coupe (i) en m [m — 2) points; sur ces m {m — 2) points, les points D comptent pour deux etéquivalent à (m — i) ('^ — 2) points d'intersection ; si l'on y ajoute les /n — i points A, on voit que

points d'intersection des courbes (i) et (2) sont fixes et connus; il n'en resle plus que

qui soient variables. Si l'on forme alors la résultante des équations (i) et (2), toutes les racines x de celte résultante seront connues et indépendantes deX, à l'exception d'une seule que l'on obtiendra par suite à l'aide d'une simple division et qui sera rationnelle en X. Ainsi x et y s'exprimeront rationnellement en fonction de X.

Réciproquement, on peut prouver que, si x eL y sont des fonctions rationnelles de X de la forme . ;. , j tttt' cp, y^, t^ étant de degrés m au plus^ x ety seront les coordonnées d\ine courbe d'ordre m ajant-[m — i)

(/w — 2) points doubles.

Posons, en effet,

z étant introduit ici pour l'homogcriéiié ainsi que |x (nous supposerons ultéi'ieurement r=i, /x = i). La courbe représentée par les équa lions (i) coupera la droite

(2) ax -\- hy -\- cz=zo

en ni points, car les X d'intersection seront donnés par la formule du degré vi

rtç().,fx)H-i;ç(;,a) +c-if[l,-j.) =0.

1 aura m valeurs et par suite x eij auront m valeurs simultanées.

Comptons maintenautles points d'inflexion ; ces points satisfont à l'équation (2) et aux suivantes :

d»,r dX^

'dP

or, en vertu du théorème des fonctions homogènes, ( 2) et (3) peuvent s'écrire

dX'

«ix^— + 2xr— -+p

dXd:

du,'

d^r dXd^

la résultante des formules (4), (5), (6) donnera les "k des points d'inflexion. Or (5) et (6) se simplifient et peuvent s'écrire

d|i» dp'