C -T— = Oy

Ah

dXdp (lAup dAuu

et la résultante cherchée prend la forme

dF Tfx^ dT'

dXdp dXdp dXdfA

dfx' d/x' d'fi

],. l'une t. cllipt.

{ '62 ) Celte équation est manifestement du degré 3(ir/ — a); «ainsi la courbe considérée possède 3 [m — 2) points d'inflexion. Or une courbe d'ordre m possède normalement 3m (m — 2) points d'inflexion; celle que nous considérons en a donc perdu

Or on sait que les points d'inflexion ne disparaissent que parce qu'ils se trouvent remplacés par des points singuliers. Chaque point double faisant disparaître six

r- £1 . 1 3 (/» — I ) (m — 2) points d inflexion, on en conclut que — ^ J,

ou- (m — I ) (m — 2) points doubles se sont attachés à

la courbe. c. q. f. d.

Il faut bien remarquer que dans notre raisonnement nous avons tenu compte des points situés à l'infini, ce qui résulte de l'emploi des coordonnées homogènes. En second lieu, nous n'avons, en fait de points singuliers, considéré que des points doubles, mais il est clair que nos énoncés devront être corrigés si les points singuliers, au lieu d'être des points doubles, devenaient points triples ou seulement points de rebroussement.

* Les théorèmes précédents sont dus à M. Clebsch qui les a établis, mais moins simplement, dans le Journal de d'elle (t. 64, p. 43).

SUR LES COURBES d'oRDRE TU POSSÉDANT -m (m 3)