POINTS DOL'BLES

Les courbes d'ordre m possédant -m (m — 3 ) points

doubles sont quarrables par les fonctions elliptiques.

Pour démontrer ce théorème, considérons une courbe

( i<33 ) J'ordre m, possédant - /n (m — 3) points doubles Djce

nombre est égal à - [m — i)(^ — 2) — i, c'est-à dire au

maximum du nombre des points doubles moins un. Pour déterminer une courbe d'ordre m — 2, il faut

- (/n — 2) [m -h i) conditions 5 on pourra donc assujetlii-

une courbe d'ordre m — 2 à passer par les - m ( m — 3) points D et par

autres points de la courbe ( i ), que nous appellerons A. Cette courbe contiendra dans son équation vin paramètre aibiiraire X et pourra être représentée sous la forme

mais celle courbe (2) coupe la courbe (i) d'abord en m [ni — 3) points confondus avec les points doubles D qui < omptent pour deux, et en m — 2 points A, ce qui fait en tout m' — 2 m — 2 poiu is 5 or les courbes ( i ) et ( 2 ) devant se couper en m [m — 2) points, il restera deux p')inls que j'appellerai B sur la courbe (i) et par lesquels passera encore la courbe (2). Nous supposerons les points A fixes 5 les points B dépendront alors de la valeur attribuée à X^ nous les déterminerons comme il suit : Par l'origine, imaginons une série de droites

passant par les intersections A,B,D des courbes ( i) et ( 2) ; les coefficients angulaires a seront racines de l'équation

(4) (ji — a-^i) (ri — a-ï^O (/» — «-^î)- • • ~ O ^" R = o,

dans laquelle {J^i,/i), (jCj, } «)» ••• sont les solutions communes à ( i) et (a); on peut supposer que Xi;^'i et .Tj^î sont les coordonnées des points B. Alors on voit: i" que l'équation (4) est la résultante de ( i), (2) et (3) •- 2° que cette résultante est divisible par le facteur

(j, — aar, )(/,— ax,),

que nous représenterons par

(5) Aa^H-2B«+C = o ou R, = o,

et qu'il sera facile de former. Cefacleur fera connaître les coefficients angulaires des droites allant de l'origine aux points B ; 3° la résultante R = o pouvant s'obtenir en éliminante: entre

/"(jc, ax) := O et çp (.r,a.r) + ^•^(xjax) = G

sera de degré m par rapport à X- mais comme, dans celte résultante, x^^j^^ x^^y,,^ . . . sont indépendants de X, le facteur Aa* + aBa 4- C le contiendra seul et par suite l'équation (5) sera du degré /n en X.

On tire de (5)

- B + y/B^ - AC

en ne considérant que l'une des valeurs de a •, la valeur correspondante de x s'obiiendra par les considérations suivantes : soient a,,- et bij les coefficients de ar'y' dans cj» et ^ et Cij = a^j -f- X bij, faisons varier a,,-, bij, a^i bu de manière à ne pas altérer la résultante R, = o j les auanliiés X ne varieront pas, et l'on aura

dR, ,^ dR, ,^,

— r- dCij H- -ry- "Lu = o ,

dtij ûLu

- dcr~ ^"^^^ + ~dc,7~ ^^*' - ° '

( '65 ) cette dernière formule peut s'écrire

et Ton en conclut

(le là plusieurs manières de se procurer x en fonctioi rationnelle de a et de X, par exemple au moyen de

l'équation

dR. dR.

dCio' (1C„

Maintenant revenons à la formule (6), pour étudier la quantité B* — AC placée sous le radical et la décomposer en facteurs. Pour cela annnlons-la : l'équation Rj = o aura une racine double-, les droites allant de l'origine aux points B seront confondues, ce qui peut avoir lieu : i" soit parce que les points R sont en ligne droite avec l'origine; 2° soit parce que les points B sont confondus.

i" Supposons d'abord les points B en ligne droite avec

l'origine, x doit être indéterminé; donc, dans les for-

dR mules (7), les -— -^ doivent être nuls. Or on a

uL,/

dR, '^ dR, ACij V 'i^ A — i\\ - 2é dC,y lïï- 2é dC,y '' ~ °'

mais, l'équation (5) ayant une racine double, ou a aussi

dR, act

1 dR, » T. A.

or, quand on pose -r— =:oouAa-t-B = o, oua= — -•

Ri se réduit à