B' — AC

( i^^G ) en égalant — a zéro, on a alors

I d(B»-AC) * A,„, ,^,

A — dT— --dr(«'-^c)=«î

donc enfin B' — AC s'annule en môme temps que sa dérivée pour les valeurs X pour lesquelles deux points B sont en ligne droite avec l'origine: B' — AC aura donc autant de facteurs doubles qu'il y aui a de valeurs de X pour lesquelles les points B sont en ligne droite avec l'origine, et l'on pourra écrin;

2** Supposons maintenant les points B confondus, les valeurs de X pour lesquelles cette circonstance se présentera s'obtiendront en exprimant que les courbes (i) et (2) se touchent : alors aux points de contact on aura

dx dxj dj ■ \dj dW dz ' \dz dzj '

en égalant ces rapports à -> en chassant les dénomina-

teurs, puis en éliminant p et À, on trouve

J désignant le déterminant de/*, (^, i|/. L'équation (8) est celle de la jacobienne des courbes /*= o, ip = o, i|^ =:r o ; or on sait que (Salmon, Leçons d^ Algèbre supérieure, traduites par Bazin, p. ^2) si les courbes © = o, ^|^ = o sont de même degré: i*'lajacobienne passe par les points communs aux trois courbes 5 2° siy=o a un point singulier en D, la jacobienne y a un point singulier avec les mêmes tangentes et par conséquent coupey^= o en six points confondus en D 5 3** la jacobienne touche la

( ^6- ) courbe /'aux poiuts A et par conséquent y coupe /^ en deux points confondus.

Or la jacobienne est de degré

m — iH-2(/n — 2) = 3m — "j;

elle coupey .= o en m(3w — 7) points dont il faut défalquer les points D au nombre de

et les points A au nombre de 2 ( m — 2) pi reste donc

points où la jacobienne peut rencontrer /^= o et par suite où la courbe (2) peut toucber (i), et par suite ([ualre valeursdeXpourlesquelles B* — 4 AC s'annulepar le fait du contact de (i) et (2). Le polynôme V est donc du quatrième degré en À- d'où il résulte que l'a et par suite l'a: et 1'/ d'un point variable B de la courbe/"= o peuvent s'exprimer rationnellement en fonction d'un paramètre A et d'un radical de la forme

y/ X' -h aA' -+■ pX' -t- 7). -+- <î,

ce qui démontre le théorème énoncé plus haut.

La première démonstration de ce théorème est due à M. Clebsch [Journal de Creïle, l. 64, p. 210).

Beinarque. — On pourra représenter les coordonnées or, y de la courbe (i) sous la fornie

à l'aide d'une transformation rationnelle opérée sur la variable X \ si l'on fait alors X = snf , on aura

«=G(snf) 4-sn'/H(sn?)" / = K(snf) 4- sn'fL(sn/),

( ,68 ) G, H, K, L désignant des fonctions rationnelles. En effet, le radical entrera si l'on veut dans x cl j sous forme linéaire ; or il est égal à cnf dnf, c'est-à-dire à su'^.

Ainsi, quand une courbe a son maximum de points doubles moins i, ses coordonnées sont des fonctions rationnelles d'un même sinus amplitude et de sa dérivée, ou, si l'on veut encore, sont des fonctions doublement périodiques de même période d'une môme variable

QUELQUES COURBES UEMABQUABLES DONT l'ÉQUATION DÉPEND DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

Lorsque l'on clierclic une courbe plane dont le rayon de courbure soi t proportionnel à l'inverse de l'abscisse, on est conduit à l'équation

\j a" — [x'-i-cy

dx.

Cette courbe est une élastique, on la rencontre encore quand oa cherche parmi les courbes isopérimètres celle qui engendre le volume de révolution minimum ; eu transformant convenablement les coordonnées, on peut

prendre c = o: alors on a — = o, quand x = o, et

dx -^

Si Ton fait - = t, on a a

C at'rft

Jo V ( I — rM ( I 4- /•)

or, en prenant le module A' égal à — ? en sorle que A' = S",

on a

si donc on fait

cn'e = — — V(i — cn'9](i -»-cn'9J-,

i = cm;, ai =^ — on aura

t = cn9, dt = — ^sj[i—t'][i-i-t^}d9,

= r «li./9cn'0 = - ^ r (i-sn'O)^O;

la limite inférieure est d'ailleurs arbitraire si l'on choisit convenablement l'origine : on a alors

[ X = a cnO.

La courbe de M. Delaunay engendrée par le foyer d'une ellipse ou d'une hyperbole qui roule sans glisser sur une droite a pour équation

dr =

\J/^a*x' — [x^ztb*y

son abscisse et son ordonnée s'exprimeront facilement aussi par les fonctions elliptiques. Dans relie courbe, la moyenne harmonique du rayon de courbure et de la normale est conslauie.

SUR LE MOUVEMENT DE BOTATION AUTOUR d'uN POIMT

Les écjuaiions du mouvement d'un corps solide qui présente un point fixe et qui n'est sollicité par aucune force extérieure sont, comme on sait,

Af;=(B-C),r, (,) ^B^=(C-A)/p,

A, B, C sont les moments d'inertie principaux relatifs au point fixe; p, «7, r sont les composantes de la rotation instantanée autour des axes principaux relatifs au même point 5 enfin, t est le temps.

L'analogie entre les équations (i) et celles qui lient entre eux sn x, cno:, dnx et leurs dérivées est telle, que l'on est tenté de poser

/? = acng'(f — t), g=^sng{t — T), r = 'ïdng{t — T),

«, (3, y, g^ r et le module A" désignant des constantes arbitraires j et l'on satisfera effectivement aux formules (i)

si, observant que

cn'j: = — sn X dnj;,

sn'^r = cnx dnj:>

dn' X =z — A' sn j: cna:.

on pre

' = "'^- BKA-C: