AB

Ces formules, auxquelles on est conduit ainsi parla méthode des coefficients indéleiminés, fourniront pour a^ Çi^y des valeurs réelles si l'on a A > B ^ Ç, ce qu'il est toujours permis de supposeï'.

Les trois arbitraires de la solution sont g', A', t. On peut faire abstraction de la dernière T, et, en comptant convenablement le temps, poser

(2) p=za.cngt, q=psngt, r = fdngt.

Les formules (i) sont donc intégrées.

Mais, pour résoudre complètement le problème, il ne suffit pas de connaître /?, q, r, il faut encoi'e calculer les valeurs des angles 9, (j», ^^ qui, dans les formules de transformation de coordonnées d'Euler, servent à définir la position des axes principaux d'inertie par rapport à trois axes fixes passant au point fixe. On démontre dans les Traités de Mécanique que l'on a

p = sinosmO— - ■+■ cos-p-r»

'^ ^ dt ' dt

. d-ij . de

q= cosep sin9 — smo-— »

^ ^ dt ^ dt

dv d-1)

rz=-j- 4-cosS-f .

dt dt

Prenons le plan du maximum des aires, ou plan invariable, pour plan des xy. On sait que A^, B*/, Qr sont les moments des quantités de mouvement relatives aux axes principaux. Si donc on désigne par G la constante des aires \lA*p* -f- B'^* + C'/-*, on aura A/> = Gcos(z,A), B7 = Gcos(z, B), Cr= Gcos(z, C),

bien

Ap = G sin9 sin«p, (4) ^ B7 = G sinScostp,

Cr = Gcos9.

La constante G est facile à calculer au moyen de k et de g. De ces trois formules on lire ô et Cj»; Il reste à calculer Tangle ^. Pour cela, entre les formules (3), éli-

d9 minons— -5 nous aurons dt

o sm !p + (7 cos a> =: SI n 0 -— ^ ' ' • dt

^ sinO

Eliminons ç et 6 de là, au moyen des formules (4)» nous aurons

OU enfin

Posons, pour abréger (6) gt = x;

nous aurons alors

G Aa'cn'jT + BS'sn'jT .

« J< = : ^ dx.

Remplaçons cn*j: par i — sn*x, et a, (3, y par leurs valeurs (a); nous aurons

^, G B — C-+-(A— B)sn'x ^

rf il) = ; '^ ; ■ dx.

^ g- A(B — C) + C(A — Bjsn'j:

Posons

et a sera réel, puisque sna est une fonction impaire;

( 173 ) nous aurons alors

rfTj; = — a.r,

S^ sn'x — sn'a y/ — i

sn*a: sn'« y/ — i

S^ su'x — sn'ay — i ce que l'on peut écrire

(8) + = ^ f^'^^Z^Î^lE'^ar

S^'^J sn'a: — sn'a y/ — ï

Désignons par F(x) la quantité placée sous le signe /, en sorte que

J,= -^ f¥[x)dx.

Nous allons, pour pouvoir intégrer, décomposer F (j:) en éléments simples, par la méthode de M. Hermite. Nous désignerons par F l'intégrale de

^, , H'fz — .r) -. .

prise le long d'un parallélogramme de côtés 2K et 2 K' yj — I (périodes dcsfonctionsclliptiques}.Ceilequantilé r est indépendante de x; elle est égale à la somme des résidus de la fonction f{z) pris à l'intérieur du parallélogramme en question. Si l'on suppose que ce parallélograiume contienne le point or, le résidu relatif à ce point sera F (.r),- quant aux résidus relatifs aux autres infinis a y/ — i et — a^ — i, ils sont de la forme

( '74) multipliée par la limite de

(x — a\/ — i) f Asn'j: — Csn*<7^-»- i) sn'^x — sn'a y/ — i

pourx = a^ — I j or cette limite est

(A — C]sn'«v/^^ (\ — C]sn'n\l— i

— ^ — - — -= ou '■ — . ■ ^

2sna s/ — I sn'<:/v — • asnay^ — i cna^ — i dnay — i

ainsi donc on a

Asn'a; •— Csn'«v/~~ i

f.n'jT — sn*flv/ — '

I H'[a\/— I — .r) (A — C)sn^^^— i

2H(aV' — ï — ^) sn«y/ — icnoy''— idnay/ — i I H^(^v/— I -h:v) (A — Cisn^gy/— I

2H(rtV^ — i + j:) sno^ — i cna y/ — idneîy/ — i

ou bien

A sn^ar — Csn'/7^/ — i

F Lr =

sn^ X — sn^rt y' — I

I (A — C)sn«y/ — I

2 en «y — I dnay/ — i

H(ay/ir7+j;) h(«v^^=^ — x) J Substituant cette valeur dans (8), on a

Gr iG(A — C) sna y/— i

ij; =: -X ■

g-AG 2 g^AG cnaV'— i dnay'' — i

, E{x — aJ— i) X log -^ !=-•

Cette formule se simplifie beaucoup quand on remplace

( ^75 ) G par sa valeur. On a

si (ce qui est permis, puisque G est constant) on fait X = o, on a

et, en remplaçant a et y par leurs valeurs [a),

ABC A/-»rB — Cl -t-CiA— B) ^ A— C (A — B) (B— C) '

dun autre côté, si, à l'aide de (7), on calcule en a\j — 1 cl dn û y/ — I , et si alors on forme la quantité

1 G(A — C) sn« y/— i

^ 5' AC cna ^ — i dn « \/ — i

on la trouve, réductions faites, égale à j il en résulte

que la formule (9) se réduit à

GTx J— I , nian — ns! — i)

g-AG 2 , H(x-iTrtV— 0

On peut introduire, comme l'a fait Jacobi, la fonction & à la place de H, en observant qu'à un facteur constant près on a

II (xH- «v^— l) = 0 (a:-+- «y/— 1 + K.'^ — i)c'

Si donc on fait a + K' = ^, on aura, en négligeant une constante,

3r.r v'^^i", ^i-^ — Ks/^^)

(10) 4» = h- lot; — ; -7

Rueb, en modifiant des formules données par Legendre, était parvenu par une tout autre voie à ces résultats; Jacobi est allé plus loin en calculant encore les lignes irigonométriques de ^ de manière à revenir, au moyen des formules d'Eult-r, aux neuf cosinus qui définissent la position du corps. Indiquons rapidement la marche qu'il a suivie.

La formule (lo), en ayant égard à (6), devient

si l'on pose

v/— I, 0^^— Çv/— 1^ Gr

on aura

^z= nt -h -^i

ettjjse composera d'une partie proportionnelle au temps (et l'on pouira appeler la quantité n le moyen mouvement) et d'une partie ^i dont nous allons calculer le sinus et le cosinus. On a

et l'on en conclut facilement cost|/i et sint^i. Pour plus de développements, nous renverrons au Mémoire de Jacobi inséré dans ses Mathematische Werhe, t. XI, p. iSp, écrit en français.