X-i-00 e"*' %\x\naxdx

Si Ton veut obtenir la valeur de l'intégrale '°° cosnxdx

on peut observer qu'elle est la partie réelle de celle-ci

-i-oo ^x^~^ I H- X^

laquelle est égale à

(fx.

{ «9) prise le long de l'axe des\r. Mais on peut remplacer l'axe des x par un demi-contour circulaire de rayon infini décrit de l'origine comme centre et situé au-dessus de l'axe des x. En effet, à l'intérieur de l'aire limi lée par l'axe des x et ce dernier contour, la fonction intégrée reste finie et continue, pourvu que «soit positif, excepté pourtant au point z = yj — i -, donc la différence des denx intégrales ne sera pas nulle, mais bien égale au résidu

de rtlalif h z = J — r, c'est-à-dire à — ■;= niul-

tiplié par 2 7T y — i, ce qui donne vre"". Mais l'intégrale prise le long du contour demi-circulaire est nulle; pour

l'évaluer, il faut prendre z = Re'^~* et faire varier 9 de t: à o, ce qui donne

pRcosJv/— ^ — Rsin*

rfOReV->y/— I,

^:r I -4- Il'(cos9.9 -+- y/ — i sin29) Pour R = oo , cette intégrale est bien nulle, et l'on a

cosa.r

QUELQUES PnOPRIÉTÉS OES FONCTIONS.

Nous avons trouvé (jue l'intégrale

était égale à/(x), la fonction /'(z) étant monodrome, monogène, finie et continue autour du point X'^ soit donc

2ff V — I t/ * — *

( 20) On voit que f{x) a toujours une déiivce, car on peut ici diirérentier sous le signe y par rapport à x; cette dérivée en a une à son tour et ainsi de suite, ce (jui est une l>roprlété précieuse des fonctions monodronies et monogènes.

Si, dans la formule (i), on pose z = jc -+- /e'^"', elle devient

cette formule contient, comme l'on voit, un grand nombre d'intégrales définies. La formule (i) donne, en la différen liant,

ou, en posant z = rc^^~^ -+- x,

En appelant alors M le maximum du module de/^(z) sur le cercle de rayon /• décrit du point x comme centre, on a

^ ''' Jo

d9 > mod. /"[^]t

ou

ou

inod./"(x)<^-^'^---"M,

r"mod./"(.r] I . 2 . 3 ... «

Cette formule montre que, si toules les dérivées de/(a:) ne sont pas constamment nulles, c'est-à-dire si/ {x) n'est

pas une constante, on pourra toujours prendre r assez grand pour que M croisse au delà de toute limite 5 donc :

Théouème. — Une fonction nionodrome et nionogène devient forcément infinie pour une valeur finie ou infinie de sa variable ; donc aussi la considération de smn inverse prouve quelle s'annule pour une valeur finie ou infinie de sa variable j donc enfin V équation f[x) = 0 a nécessairement une racine.

Reprenons les formules

I r/{z)dz I

ITT V — ï >-' — • la dernière peut s'écrire

J [z—aY[z~x) J -^ ^ '' on, on vertu de (1),

'/•"-M^) I rf{z){x-aY ^^

Ce dernier terme lend vers zt'ro pour n=: 00 , pourvu qno X — a soit assez petit, et l'on voit que, pour x=^ «, loulis les dérivées àe fi^x) ne sauraient être nulles, si f{x) n'est pas une constante. Supposons que les [n — i) premières dérivées seulement soient nulles et que la /i'*""

ne Je soil pas, la formule précédente se réduit à

\dz

\l—\ J (s — fl)"(* — x)

Ig facteur de [x — a)" ne sera pas nul pour a: = a, et l'on voit que, si /(a) est nul, /(a:) sera de la forme

J>(.r) reslanl fini pour x = a; donc :

Théouème. — Une fonclionnioîjodronie et monogèiit na que des racines d'un ordre de nudtiplicilé entier; ii en est de même par suite de ses infuiis.

Voici une dernière proposition très-imporlanle : Soit

f l z) f'iz) la dérivée de fiz] : les infinis de ,; ; seront sim-

pies et se réduiront aux zéros et aux infinis de/ (z). Soient <3i, «2, ... les zéros àQ-f[z) contenus dans le contour C, a,, ag, ... les infinis contenus dans le même contour; alors

i s -^ a, ) ils et 2 I * . . «

4^(5) n'étant plus ni nul ni infini dans le contour C; prenons les logarithmes et diliérentions, on aura

■ f [z) -^ tn y^ n ^' ( z )

Multiplions par F(z), qui ne devient ni nul ni infini dans le contour C; nous aurons, en intégrant le long di; ce contour.

Si l'on faitF(z):=i,on trouve 2/n — Hn^ c'est-à-dire la

( .3 ) (lillérence entre le nombre des zéros et des inGnis ; mais alors

= ]= [log/{2) = im — m,

Iog/(j:; = logmoi]./{z] — y/— i arg./(z);

ainsi 27: (Lw — 2n) est la quaniilé dont varie l'argiimcnl de f[z) le long du contour C, quand le point z effectue une révolution complète le long de ce contour.

Quand 011 prend F(s) = z, on a

^.^ ^ .ma — zn-j..