L. Fond, ellipt. \i

( 178 ) nous aurons

OU, en vertu de (3) et (4)?

Si l'on substitue à z, dans le second membre, — 00 , — /', /i, 4- /', on obtient des résultats ayant pour signes +, — , -l-, — \ on peut donc poser

a, (3, y désignant des quantités réelles dont deux sont comprises entre — ret -\- /■, et dont la troisième est négative et moindre que — r.

On sait que, pour ramener l'équation (8) à celle qui définit la fonction elliptique, il faut poser z = « + pu* ; posons donc (6) z = a -|-/^ sn'w?;

nous aurons, au lieu de (8), en écrivant s au lieu de sn wf et en désignant par k le module inconnu de sno)/,

Cette formule aura lieu, quel que soit 5, si

Ci>- A- = O,

{ '79) Eli éliminaiU w par division, on en tire

~r+T* ~ la — p — 7 ' 7 ~~ (a— p) (a — y) '

d'où, égalant les valeurs de A*.

En résolvant par rapport à p, on trouve — (a — P,

ou — (a — v): alors A* = -ou— — „• Pour que h

soit réel, il faudra que a — j3 et a — y soient de même signe, ce à quoi on arrivera en prenant pour a la racine positive la plus grande. Enfin, pour que k soit moindre

que l'unité, on prendra;^ = — (a — /3), A' = » et

l'on supposera que 7 soit la plus petite des racines; alors on aura

la formule (9) donne alors

z = a — (a — P)sn'w^, ou bien

2 =r a en ' w/ H- p sn * w r,

ou, en vertu de (6) ,

(il) /-cosôr^ acn'wr H- psn'ur.

Maintenant, la formule (a) donne

t/r "~ r" sin'ft' et, en vertu de (i 1),

cfit

r'— (acn'a»/ 4- ^sn'o*/) cdt

\/-— acn'w/ — p«Q»wr r-t- acn»w/-4- psn'wr/

( i8o ) On a donc enfin

I /" dt

i r^ dt

Les deux intégrales qui figurent ici sont de seconde

2 r espèce; — {^ — 4'o) se composera donc d'un terme proportionnel à £ et de termes périodiques de la forme

Si donc on imprimait au pendule un mouvement uniforme de rotation convenable, son mouvement relatif serait périodique.