THÉGRÈIMES DE CAUCHY ET DE LAURENT

Nous tnrmincrons ces considérations préliminaires en donnant, d'après Cauchy et le commandant Laurent, une nouvelle forjne au théorème de Maclaurin.

Soit f [x] une Jonction finie continue monodrome et mono gène à l'intérieur rPun cercle de rayon R décrit de l'origine comme centre. Elle sera dèveloppable par la formule de Maclaurin pour toute valeur de x comprise à r intérieur du cercle en question.

En effet, si l'on décrit un cercle de rayon R' un peu plus petit que R de l'origine comme centre, on aura, en intégrant le long de ce cer< le,

/(x) = i=//iiL.„

2ir V — I »/ * — *

pourvu que le point x soit situé dans son intérieur^ alors

le module fie z sera plus grand que celui de x et, — 'étant développé suivant les puissances deo", on aura

Or on sait que

on aura donc

ce (ju'il fallait prouver.

Si la j onction f[x) est. finie, conliniie, monodionie et monogène à V intérieur d'une couronne circulaire de rayons R et R', ayant son centre à Vorigine, elle sera développable pour toutes les valeurs de x comprises dans celte couronne en une double série procédant sniuant les puissances entières ascendantes et descendantes de X.

En effet, soit T un signe d'intégration indiquant que la variable reste sur un cercle de rayon A décrit de l'origine comme centre, soit ;' un peu plus petit que R. et r' un peu plus grand que R', la sonnne

sera égale à l'iirlégrale / — —^ J2 prise le long d'un ecrcle

de rayon très-petit décrit autour du point x intérieur à la couronne; en sorte que, si Ton observe que celle-ci est égale à 37i y — ij (.r), on aura

Jr^ — ^ J,' ^ —^

OU bien, en observant que mod.^^mod.x et que niod.z'<^mod.a:,

ce qui démontre le théorème.

Exemples, -^log (i + x) est développable à l'intérieur

d'un cercle de rayon i décrit de l'origine comme centre,

mais il cesse d'être développable au delà comme l'on sait,

et, en effet, pour x = — i , le logarithme de i -4- j: est

nfini.

Le point ciiticiue de (i — x)"* est a: = i, c'est ce qui explique pourquoi la formule du binôtne cesse d'avoir lieu quand le module de x est supérieur à l'unité, etc.

IIEMARQCJE CONCERNANT LES FONCTIOJXS PÉniODIQUES.

Une fonclion/^(x) possède la période &> quand on a

/(.r + w)=/(a:) et, par suite, n étant entier,

f[x-\- noi) = /[x).

e possède évidemment la période w 5 quand on donne

amrV — I

une valeur pariiculière à e "^ , il en résulte pour x une série de valeurs de la forme Xo -f- nw, /z désignant un entier et Xq un nombre bien déterminé. Si donc on considère une foncliony(x) monodromc quelconque possédant la période w, ellepourra être considérée comme fonction de ^ = e '^ et, si l'on se donne jj, x ayantles valeurs Xq-\- n (ji^f[x) prendra les valeurs

/(xo-l-«w)=/(jro).

Ainsi, j étant donné, y^(x) aura une valeur unique et bien déterminée; il en résulte quey^ij:) est fonction nionodrome de y.

Il résulte de là que toute foncf ion périodique monodionie possédant la période co pourra se développer suivant les puissances ascendantes et descendantes

de e al intérieur de certaines couronnes circu-

laires.

ÏT.X V'— l

Mais quand e '^ décrit un cercle, son module reste constant; or, si l'on pose

a:=a-i-|5v/ — i, w = g' + A v' — i, il se rcduit à

\i. désignant une fonction linéaire de a et j3, et pour que cette expression reste constante, f* doit rester constant; a: décrit donc une droite, de direction fixe d'ail-

sr X \ — I

leurs, quand on fait varier le module de e « , Ainsi c'est entre deux droites parallèles que le développement

(^ 27 ) de f (x) sera possible, l'une de ces droites ou iiièmc toutes les deux pouvant s'éloigner à l'inUni.

Ce théorème nous serviia à jeter les fondements de la théorie des fonctions elliptiques.