NOTIONS SUR LES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

Une fonction y, définie par une équation de la furinc

oùf{x^y) désigne un polynôme entier en x t^t J-, qui n'admet pas de diviseur entier, est ce que l'on appelle une jonction algébrique. L'équation qui la définit est dite irréductible.

Une fonction ainsi définie est susceptible d'autant de valeurs pour une même valeur de x qu'il y a d'unités dans le degré de y* pris relativement à y- \ mais ces valeurs ne peuvent pas être séparées les unes (Uîs autres et ne coiistiluenl (ju'une seule et même fonction, ainsi que l'a démoniré iNl. Puiseux.

1° Une fonction algébrique ne peut s'annuler ([ue si le dernier terme de l'équation qui la définit s'annule, et,

par suite, elle n'a qu'un nombre limité de zéros. est

défini par une équation algébrique que l'on sait former cl n'admet, par suite, qu'un nombre limité de zéros; donc y n'admet qu'un nombre limité d'infinis qui sont les racines de l'équation obtenue en égalant à zéro le coefficient de la plus haute puissance de^ dans l'équation qui sert à le définir.

2° !Nous admettrons que jy^ soit une fonction continue de X, excepté pour les points où y devient infini ou acquiert des valeurs telles que l'on ait .î la fois

( ^^-B ) encore en ces points n'y a-l-il pas, à proprement parler, disconliiiuité, mais simplement indétermination d'une certaine espèce dont nous parlerons plus loin 5 nous donnerons à ces points le nom de points criUques.

Nous supposons ce théorème connu du lecteur, et, en réalité, il est supposé connu de toutes les personnes qui s'occupent de Calcul diirérentîel 5 il est impossible de prendre la dérivée d'une fonction implicite sans l'admettre.

3" La fonction algébrique j^ admet une dérivée bien déterminée en tout point qui n'est pas critique : cela résulte de la règle de la différenlialion des fonctions implicites, et l'on a

dy àf i\f dx tl.r * (\y

expression iinie et déterminée si — n est pas nul.

4" La fonction algébrique j)^ est monodrome à l'intérieur de tout contour ne contenant pas de point critique. Considéron-s, en effet, un contour fermé C ne contenant aucun point critique •, supposons que la variable x décrive un certain chemin continu à l'intérieur de C, en partant du point j"o pour y revenir. Soient S ce chemin, Y(^ la valeur de y en Xq au départ, etj^i la valeur que prend y qu;ind x revient en a^o- Si l'on n'a pasj^f =j'o» ji ne pouira être qu'une des valeurs dej'". Cela posé, déformons le chemin S en le réduisant à des dimensions de plus en plus petites. Quand ce chemin se sera, dans toutes ses parties, suffisamment rapproché de o^o, les valeurs de j' le long du contour S seront, en vertu de la continuité dej^, aussi peu différentes que l'on voudra dej^oi et, par suite, différeront de y^ d'une quantité finie, puisque, à l'intérieur du contour C dans lequel nous cheminons, les valeursdej)' sont nettement distinctes; donc,

( ^9) quand le contour S sera devenu suffisamment petit, y reviendra enXo avec sa valeur initiale^o- ^^3's, s'il n'en est pas toujours ainsi, il est clair que, pendant que le contour S se déforme, il arrive un moment où y revient encore en Xq avec la valeur yi différente de yo, tandis qu un moment après il reviendra avec la valeur primitive Yo' Soient donc deux contours So et Si, infiniment voisins, ramenant 7^ l'un avec la valeur jo? l'autre avec la valeur j^j j considérons deux mobiles parcourant ces contours en restant toujours infiniment voisins l'un de l'autre : en deux points infiniment voisins, y ne pourra avoir que des valeurs infiniment peu différentes. En effet, si l'on considère, à chaque instant, la différence des valeurs de jr en deux points correspondants, celte différence, d'abord infiniment petite, restera telle, car elle varie d'une manière continue comme y, et elle ne saurait devenir finie que si l'on considère deux racines distinctes de l'équation/ (or, j) = o; mais, pour passer d'une valeur à une autre, y serait obligé de rompre la continuité, à moins que l'on ne soit précisément dans le voisinage d'un point critique où deux valeurs distinctes dey sont susceptibles de différer infiniment peu l'une de l'autre pour une même valeur de X. Ainsi donc, y revient toujours en 0:0, avec la même valeur y^, si l'on ne sort pas du contour C. c. q. f. e.

Discussion de la fonction ^x — a.

Il est intéressant d'éluJier la manière dont les fonctions algébriques permutent leurs valeurs les unes dans les autres autour des points critiques: nous renverrons, pour cet objet, le lecteur à un Mémoire de M. Puiseux, inséré au t. XV du Journal de M. Lioin^ille. Il suffira, en effet, pour le but que nous avons en vue, de discuter

(3o) les fonctions (le la forme \f\, où X représente un poly-

nôme entier en x.

Commençons par la fonction jk = y J^ — «î dans l«iquelle a est une constante. Cette fonction a deux valeurs

+ y'.r — a et — ^x — a,

en chaijue point égales et de signes contraires. Nous n'avons à considérer qu'un seul point critique, le point a pour lequel K's deux valeurs de ^ deviennent t^gales à zc'ro, La fonction y ne cesse donc d'être monodrome qu'à rinlérieur d'un contour contenant le point a. Posons

rti ~' sera représenté par la droite qui va du point a au point X (la résultante de deux droites représentant, il no faut pas Toublier, la somme des imaginaires représentées par ces droites) ; on aura

sjx — a ^=^ r e .

Si le point a: décrit un contour fermé contenant le point a,

la droite re "'joignant le point a au point x tournera on (léciivnnt un angle lotal égal à 2 ir; la fonction

yx — a = r e

reviendra alors, quand x reviendra an point de départ

correspondant kQ = Q^^ avec la valeur

— \ ih^y^^ ■

Ainsi l'effet d'une rotation autour du point a est de changer le. signe de la fonction y.