RR
avec la condition évidente
(4) £z=/îi+A2H- A,
s et A ayant les significations connues.
Voilà quatre équations entre les six quantités /ii, /ij, R, R', £, /i; il y a donc indétermination. Si Ton fixe deux d'entre elles, les quatre autres s'en déduiront. On peut ainsi prévoir qu'il y aura une infinité de solutions, c'est-à-dire une infinité de lentilles de courbures, d'épaisseurs et de matières différentes, équivalentes au système résultant.
Il y a deux cas à considérer, si l'on se borne aux applications.
i^ La matière de la lentille, c'est-à-dire V indice de réfraction /i, est déterminée; c'est du crown ou du flint, par exemple.
Cherchons la relation qui unit h^ et h^\ pour cela, éliminons R, R', £ entre les quatre équations précédentes. Les trois
— 7i — premières peuvent se mettre sous la forme suivante
nR /iR'
Actuellement, posons
nR n — I
nW n — I ~
il vient
Ull'
L'élimination de u, u', z est maintenant facile entre les équations (i'), (2'), (3'), (4); on arrive finalement à Téquation
(5) (/i — 1)^(^1 H- /12) — 71^1^2= cpA.
Si Ton assigne arbitrairement la valeur de Ai, on déduit h^ par Tégalité suivante :
^^ cp[A — (/i — i)/ii] * {n — i)cp — n/ii
Au point de vue géométrique, si l'on considère Ai et h^
comme les coordonnées courantes d'une ligne, cette équation (5) représente une hyperbole équilatère (*).
On obtient ensuite les rayons de courbure R et R' au moyen des formules
hi n *
Il serait intéressant de discuter la forme de la lentille équivalente suivant la grandeur et le signe du paramètre Ai, c'est-à-dire suivant la position du point A par rapport au premier point nodal. Nous laissons au lecteur le soin d'entreprendre cet exercice utile.
2** L'épaisseur et la forme de la lentille sont données, ainsi que la position de ses faces relativement aux points nodaux : on demande V indice de réfraction de la substance qui doit constituer cette lentille.
Ici la solution n'est plus indéterminée. L'indice cherché se déduira immédiatement de la formule
/2l=£Cp
ou
d'où
/iR'
'"='f-ïïïr'
ecp &(p
ecp — /ijR' ecp — A,R Le calcul de l'indice se présente, dans l'étude physique de
( * ) De Lisleferme, Journal de Physique,
rœil, quand on veut assigner une valeur schématique à Taction réfringente du cristallin. On sait que cette lentille organique peut être considérée comme un double assemblage de lentilles concaves-convexes, à distance focale négative, embrassant un noyau central à peu près sphérique. La densité et par suite Tindice de réfraction des couches successives vont en croissant progressivement depuis la périphérie jusqu'au centre. Comme on ne connaît pas la loi de variation du pouvoir réfringent, il est impossible 4© calculer directement avec exactitude la marche des rayons lumineux dans le cristallin. Pour éviter cette difficulté, Helmholtz procéda le premier à la mensuration directe des éléments cardinaux du cristallin, à Taide de son ingénieux ophtalmomètre, et il fut naturellement conduit à rechercher l'indice de la lentille, de matière homogène, qui aurait mêmes foyers et mêmes nœuds que le cristallin, qui aurait sa forme et ses dimensions, et qui occuperait rigoureusement sa place dans le système optique de l'œil. Helmholtz a appelé cet élément indice de réfraction total. Cet indice est différent de V indice moyen des couches successives et aussi de Vindice du noyau,
