III
Prenons maintenant pour origine des distances le foyer principal F ; il suffit de poser {/ig. 36 ) PF =11, P'F=il' et par suite
substituant dans la formule (2), on trouve
C'est la formule simplifiée, ou formule de Neivton. Elle indique que les deux points conjugués sont toujours du même côté par rapport au foyer principal, puisque les longueurs d et d' doivent toujours être de même signe.
En outre, elle conduit à une construction simple de ces foyers conjugués.
Sur AO comme diamètre, décrivons une circonférence {fig' 38). Deux cas peuvent se présenter, selon que le point est extérieur ou intérieur au cercle focal.
Si le point P est extérieur, menons une tangente PT au cercle et projetons le point T de tangence en P'. Dans le triangle rectangle PTF, on a
¥ï=P—W,¥P = lV, Le point P' est donc le conjugué du point P.
Si le point P est intérieur au cercle focal, on effectue la construction en sens inverse. On élève la perpendiculaire PiTj et l'on mène la tangente TjPj.
Fig. 38.
On a trouvé plus haut, pour la longueur focale/,
Si la lumière incidente tombe sur une surface convexe, autrement dit, si le miroir est convexe au lieu d'être concave, il faut changer R en — R; la distance focale est négative; le point focal est virtuel et situé derrière la surface réfléchissante.
Plans conjugués. — Un point S {fig, 36), pris en dehors de l'axe principal, est par rapport à la surface dans les mêmes conditions que le point P ; Fimage S' se fait sur la droite SO et les distances respectives de ces deux points conjugués S et S' à la surface réfléchissante sont liées entre elles par la même loi que celle qui détermine les positions relatives des foyers conjugués sur l'axe principal. Si OS = OP, on aura de même OS'=OP'. Donc tous les points d'une calotte sphé-
rique ayant pour rayon OS ont pour conjugués les points d^une seconde calotte sphérique ayant pour rayon OS'. Ces deux calottes ont même axe OA, et, comme elles ont, par hypothèse, une faible ouverture, elles se confondent avec leurs plans tangents, qui sont perpendiculaires à Taxe aux points P et P'. Diaprés cela, tout point de Tun de ces plans a son conjugué ou son image dans le second, sur une ligne appelée axe secondaire ou ligne de direction, qui passe par le centre de courbure de la surface. Les images d'objets couchés dans ces plans sont semblables, et leur centre de similitude est en O. Les plans menés ainsi perpendiculairement à Taxe principal par les points conjugués ont reçu la dénomination de plans conjugués.
Plan focal. — Elevons au point focal F un plan FN, perpendiculaire à Taxe principal : nous aurons le plan focal. Si nous ne considérons que les parties voisines de F, ce plan jouit d'une propriété importante (^fig- 89): Tout point lumineux qui y est contenu enverra sur la surface réfléchissante des rayons qui, après la réflexion, se propageront parallèlement à Vaxe secondaire relatif au point considéré.
Construction des rayons conjugués. — Cette propriété du plan focal est utile à connaître, car elle nous permet de construire le rayon réfléchi correspondant à un rayon incident quelconque, et, en particulier, de déterminer géométriquement la position du foyer conjugué d'un point lumineux situé sur l'axe principal.
Soit, par exemple, le rayon incident PI; il s'agit de trouver le rayon réfléchi correspondant; PI coupe le plan focal en N. On peut regarder le rayon PI comme appartenant à un cône
dont le sommet est en N; or nous savons que tout rayon issu d'un point du plan focal prend, en se réfléchissant, une direction parallèle à Taxe secondaire de ce point. Il suffit donc de tracer cet axe secondaire NO et de lui mener par le point d'incidence I une parallèle IP'. Cette dernière droite est le rayon réfléchi cherché, et P' est le conjugué de P.
Fig. 39.
Cette construction s'applique aussi bien au cas où le point est hors de Taxe : l'image de Q est en Q' sur l'axe secondaire QO.
Construction des images. — Pour construire l'image d'un objet, il suffit de construire l'image de ses différents points. On vient de voir comment s'obtient Timage d'un point situé sur l'axe principal ou en dehors de cet axe. Les explications précédentes conduiraient donc immédiatement au tracé graphique de l'image d'un objet quelconque et dans les circonstances les plus générales. Toutefois, il nous paraît utile d'indiquer cette autre manière de construire l'image d'un point lumineux placé en dehors de l'axe principal {/ig» ^o).
Menons le rayon SI, parallèle à Taxe principal; le rayon réfléchi correspondant est IF. Joignons ensuite le point S au
point focal; le rayon SF rencontre la surface réfléchissante en K^et se réfléchit parallèlement à Taxe principal, suivant KS'. Les deux rayons réfléchis IS', KS' se coupent en S', et
Fig. 4o.
nous savons que tous les autres s^y coupent. Donc S' est V image ou le conjugué de S.
L'axe secondaire SO, relatif au point S, doit aussi passer par rimage S' ; de là deux autres manières de déterminer ce dernier point.
Enfin, d'après la propriété des plans conjugués, si l'on prend pour objet la flèche SQ, perpendiculaire à l'axe principal, son image aura la même direction et s'obtiendra en menant S'Q' perpendiculaire à l'axe.
Grandeur de l'image — Posons SQ =: O, S'Q'i= I; les deux triangles rectangles S'OQ' et SOQ sont semblables et donnent
O"" OQ ~ /-/' et, à cause de la relation //'=/*, il reste
Telle est l'expression du grossissement linéaire produit par une surface réfléchissante.
Nous avons dit plus haut que Timage de chaque point de l'objet se trouve dans le plan conjugué et sur la ligne joignant ce point au centre de la sphère, qui est ainsi un centre de similitude. Si donc l'image et l'objet sont de part et d'autre du centre, l'image sera renversée; elle sera droite dans le cas contraire.
Il y a deux cas à considérer, suivant que le miroir est concave ou convexe.
1° Miroir concave.
L'objet SQ est infiniment éloigné; l'image S'Q', infiniment petite, est située dans le plan focal.
A mesure que SQ se rapproche, l'image s'éloigne de la surface et grandit, et, quand l'objet est au centre de courbure, l'image réelle et renversée est de même grandeur que l'objet.
Quand SQ est situé entre le centre de courbure et le plan focal, rimage S'Q' est plus grande que SQ et passe à droite du centre de courbure; elle grandit en s'éloignant, et devient infiniment grande et infiniment éloignée quand l'objet est sur le plan focal.
Lorsque l'objet est compris entre le plan focal et le miroir, l'image est située derrière le miroir, virtuelle, droite et plus grande que Tobjet; elle se superpose à l'objet quand celui-ci est sur le miroir.
Enfin, quand Pobjet devient virtuel et passe derrière le miroir, Timage est réelle, plus petite que l'objet, reste droite, et est intercalée entre le miroir et le plan focal.
Grocllebois. — Lentilles épaisses, 7
2* Miroir conn^exe.
^uaiiid 5Q e^ infiniment éloigné, Fimage TÎrtiiefle esl infi-
ni ment petite et contenue dans le plan focal.
Quand Tobjet se rapproche du miroir, Timage, toujours virtuelle et droite, s'en rapproche aussi ; elle grandit continûment pour devenir égale à Tobjet, quand celui-ci est placé »ur le miroir {^fig* 4i)-
Quand Tobjet devient virtuel et se trouve entre le miroir cl le plan focal, son image (y^.42) reste droite, devient réelle cl
Fig. 42
plus grande que Tobjel, et, quand ce dernier atteint le plan focal, rimage est infiniment grande et infiniment éloignée.
Supposons i^fig* 43) que Tobjet virtuel SQ soit compris entre le plan focal et le centre de courbure ; son image vir-
Fig. 43. .
tuelle S'Q' est au delà du centre, plus grande que Tôbjet et nécessairement renversée; elle est égale à l'objet quand celuici occupe le centre de courbure.
Enfin, quand l'objet virtuel est au delà du centre, son image virtuelle, renversée, est plus petite que l'objet et comprise entre le centre et le plan focal.
II. — RÉFLEXION SUR UN NOMBRE QUELCONQUE DE SURFACES SPHÉRIQUES CENTRÉES.
La lumière suit une route plus compliquée quand, au lieu de rencontrer sur son passage une seule surface réfléchissante, elle est ballottée dans un intervalle séparé par des surfaces sphériques douées du poli spéculaire. Nous supposerons que les centres de toutes ces surfaces se trouvent sur une même ligne droite, qu'on appelle Vaxe optique principal du système. Les systèmes de miroirs dans lesquels cette condition est remplie sont dits centrés.
Considérons d'abord le cas le plus simple, réalisé par deux surfaces sphériques placées en regard l'une de l'autre.
Points conjugués. — Nous avons vu , dans le paragraphe
précédent, que la réflexion par une seule surface sphérîque transforme un cône de rayons émanant réellement ou virtuellement d^un point lumineux P en un second cône dont les rayons convergent réellement ou virtuellement en un autre point P', appelé le conjugué ou Vimage de P. La réflexion a-t-elle lieu sur une seconde surface sphérique, le point P' a, par rapport à cette surface, un point conjugué P'' qui est Timage de P', et par conséquent de P. Ainsi, des rayons homocentriq ues qui tombent sur le système optique en faisant de petits angles d^incidence avec son axe restent homocentriq ues après chaque réflexion et rejaillissent homchcentriquement de la dernière surface réfléchissante. Les sommets de ces cônes successifs sont points conjugués les uns des autres.
Points focaux. — H y a aussi à considérer des points focaux. Si le point P, placé sur l'axe optique du système, s'éloigne à l'infini vers la droite, le point P" tend vers un point <!>' qui est \q second point focal àw système. Inversement, si le point P'' s'éloigne à l'infini vers la gauche, son conjugué P tend vers un point limite 4» qui est \e premier point focal.
Plans conjugués. — Quand la lumière incidente émane d'une série de points qui sont tous situés dans un même plan perpendiculaire à J'axe optique, nous savons qu'après la première réflexion les points conjugués se trouvent de nouveau tous dans un même plan perpendiculaire à l'axe et que leur distribution est géométriquement semblable à celle des premiers points lumineux, le centre de similitude étant le centre de courbure. 11 en sera, par conséquent, de même après chacune des réflexions suivantes, et la dernière image sera aussi
— iOl —
géométriquement semblable à la première et placée dans un plan perpendiculaire à Taxe. Le plan de Tobjet et celui de rimage extrême sont dits plans conjugués.
Plans focaux. — Considérons un plan mené par le second point focal <!>' du système réflecteur, perpendiculairement à Taxe : nous aurons le second plan focal. C'est évidemment le lieu des points oà se croisent après la dernière réflexion les rayons incidents qui sont parallèles aux divers axes secondaires relatifs au premier miroir.
On reconnaîtrait de la même manière que le plan niené perpendiculairement à Taxe par le premier point focal 4> est le lieu des points où se croisent les rayons incidents qui donnent, après la dernière réflexion, des rayons parallèles.
Plans principaux. — Pour le cas d'une surface réfléchissante unique, nous savons que, dans les limites d'approximation admises (*), le rayon incident et le rayon réfléchi peuvent être considérés comme coupanten un même point I ou K le plan IAK, mené perpendiculairement à l'axe par le pôle A du miroir : cela nous donnait un point du rayon réflécïii, et il suffisait d'en chercher un second pour le déterminer complètement. Lorsque le rayon se réfléchit sur deux ou un plus grand nombre de surfaces, on ne peut avoir un plan unique, doué de la même propriété; mais on peut démontrer Texistence de deux plans, tout à fait caractéristiques, qui poulies plans principaux au. système réflecteur. Eflectivement, ainsi que nous allons le reconnaître, ces plans sont perpendiculaires à Taxe, et ils sont
(*) On substitue à la surface sphérique le plan tangent au pôle; cette approximation convient aussi bien aux surfaces réfléchissantes qu'aux surfaces réfringentes.
rencontrés à la même distance de l'axe, et du même côté, le premier par le rayon incident, le second par le dernier rayon réfléchi.
De la même manière que pour un assemblage de surfaces réfringentes centrées, nous établirons, par un raisonnement géométrique très simple, et l'existence et les propriétés de ces plans.
Pour fixer les idées, nous supposerons les deux miroirs concaves et disposés comme dans le télescope de Grégori.
Soient A et A' les pôles des deux miroirs i^fig^ 44)> F et F' leurs points focaux. Traçons une droite indéfinie SS', parallèle à Taxe principal et rencontrant les miroirs en I et en F. Si SI est un rayon incident, le rayon réfléchi sur le miroir A est IF.
Fig. 44.
fl
FA
TTf
Si S' F est un rayon incident, il se réfléchit suivant FF'. Du
point K, intersection de ces deux rayons réfléchis IF, FF',
abaissons la perpendiculaire KO sur Taxe principal. Je dis que
le point O est le même pour tous les rayons parallèles à
Taxe.
En effet, il résulte de la construction que les deux triangles
rectangles lAF, KOF sont semblables et donnent l'égalité de
rapports
lA AF
