IH , IH IH

d'oïl

n nJ n' — n

L'équation (i) donne pour/?' une valeur indépendante de la direction du rayon incident. On en conclut que tous les rayons partis d'un même point P concourent en un même point P'.Ce qu'on exprime encore en disant que des rayons homocentriques qui traversent une surface sphérique réfringente sous des angles d'incidence très petits restent homocentriques après la réfraction. Réciproquement, si le point lumineux se trouve dans le milieu le plus réfringent, en F' par exemple, les rayons qui en émanent se réuniront en P ; car, en vertu de la loi de réciprocité, la lumière prendra, pour aller de P' en P la même route que celle qu'elle a suivie pour se rendre de P en P'. Deux points entre lesquels existe une telle relation de réciprocité se nomment points ou foyers conjugués : ce sont les images l'un de l'autre.

Remarque.

L'équation (i) est dite \di form^ule classique des foyers conjugués : p et/?' sont les distances respectives du pôle A au point-objet et au point-image. Nous adopterons les conventions de signe suivantes : nous regarderons comme positives les distances p comptées à partir du pôle A vers le côté d'où vient la lumière, et comme négatives celles portées dans la direction opposée. Au contraire, les valeurs positives de /?' seront comptées dans le sens de la lumière transmise, et les valeurs négatives en sens inverse. Enfin, nous attribuerons au rayon R de la surface réfringente le signe 4- ou le signe — , selon que cette surface tournera sa convexité ou sa concavité vers les rayons incidents.

Notre formule fait voir que la distance de Timage P' au pôle A dépend de la distance à ce pôle du point lumineux P. A mesure que celui-ci s'éloigne du pôle, dans le sens AX (,fig* 2), son conjugué P', marchant dans le même sens, s'approche de la surface réfringente. Lorsque le point lumineux a reculé à l'infini, les rayons qui en partent, LI, FA, SK, sont parai-

Fig. 2.

lèles entre eux et à l'axe principal, et leur point de concours, après la réfraction, est situé en F'.

Ce point F', où viennent se réunir les rayons réfractés correspondant à des rayons incidents parallèles à l'axe principal, s'appelle foyer principal postérieur ou second foyer principal. Sa distance /' à la surface réfringente est la seconde longueur focale. Elle se déduit de la formule (i), pour /> = 00 ; on trouve

Si le faisceau conique incident devient convergent, de telle sorte que les prolongements géométriques des rayons et non les rayons eux-mêmes concourent en un point situé à droite de la surface réfringente, le point lumineux est dit virtuel (fig* 3). Dans ce cas, l'image P' est formée par des rayons qui vont toujours réellement s'y réunir; elle est dite réelle et

parcourt Fintervalle compris entre le foyer principal F' et le pôle A, pendant que l'objet virtuel P se rapproche de Tinfini postérieur jusqu'à la surface. Ces derniers résultats se déduisent de Téquation (i), dstns laquelle on attribue à p des valeurs négatives depuis — oo jusqu'à o.

Supposons, au contraire, que le point lumineux s'avance vers le sommet A; son conjugué s'éloignera de plus en plus dans le sens AX', jusqu'à ce que finalement il soit à l'infini, ce

Fig. 3.

qui arrivera quand le point lumineux occupera, dans le premier milieu, une position déterminée F qui porte le nom de foyer principal antérieur ou de premier foyer principal. Les rayons réfractés seront alors représentés par les droites pointillées IL', AF', KS' {fig* a), parallèles à l'axe principal. La distance FA s'appelle la première longueur focale. Cette longueur/ se tire de la formule (i) pour /?'=oo ; on trouve

/iR

Enfin, si le point lumineux se rapproche encore davantage de la surface réfringente, les rayons qui en partent resteront divergents après la réfraction ; seulement, comme l'indique la

fig, 4. leur divergence sera moins grande que ceUe du faisceau incident, et, au lieu de se réunir à droite de la surface IAK pour former une image réelle, ils sembleront partir d^un point situé à gauche de la surface réfringente : Timage sera vir^ tuelle. Ainsi, pendant que l'objet s^avance dans le sens AX'

Fig. 4.

depuis le foyer F jusqu'au pôle A, l'image passe du même côté que lui, devient virtuelle et va de l'infini antérieur au pôle. En cet endroit, le point lumineux et son image se confondent.

L'examen de notre formule fondamentale conduit aisément à ces conclusions.

En résumé, les foyers conjugués marchent toujours dans le même sens.

Dans la discussion précédente, on a supposé que la lumière incidente venait du milieu antérieur moins réfringent, et que la surface d'entrée était convexe. Mais il est facile de reconnaître que notre formule s'applique à tous les cas possibles, au moyen de deux règles assez simples :

I** Si les rayons incidents passent du milieu plus réfrin-

gent dans le milieu moins réfringent, il faut remplacer n' par n, et réciproquement.

2° // faut changer le signe de R quand la surface de séparation des deux milieux tourne sa concai^ité vers les rayons incidents.

On a trouvé plus haut, pour la prem^ière longueur focale,

/iR

et, pour la seconde longueur focale,

Si la lumière passe de Tair dans le milieu le plus réfringent à travers une surface convexe, / et /' sont positifs : les deux points focaux F et F' sont réels.

Si la lumière passe de l'air dans le milieu le plus réfringent à travers une surface concave, /et/' deviennent négatifs; les deux points focaux F et F' sont virtuels.

Enfin, si la lumière passe du milieu le plus réfringent dans l'air à travers une surface convexe, les distances focales /et/' sont encore négatives ; les deux points focaux F et F' sont encore virtuels.

Dans tous les cas, on voit que les foyers principaux F et F' sont inégalement distants du sommet A de la surface réfringente. Le rapport de ces longueurs focales est égal à l'indice

relatif — :

Leur différence est égale au rayon de courbure de la surface ;

Donc les deux foyers principaux sont à égale distance du milieu M du rayon de courbure AO {fig- 2)-

Sî, dans la formule (i), on divise tous les termes par le second membre, on y introduit naturellement les longueurs focales, et Ton obtient ce que nous appellerons la formule transformée :

Nous avons pris pour origine des distances le pôle Â de la surface réfringente. Nous serions tombé sur une formule analogue si nous avions choisi comme origine le centre de courbure O. En effet, posons OF zm «p, 0F'=: <p', OP = w, OP'= in'; on déduit

/=(p — R, /'=rtp'-i-R, /> = iii — R, />' = ©' -h R. L^équation (2) devient alors

<p — R cp^-hR __

S~rR-^-TO/4.K""''

d^où, après des transformations faciles et observant que

11 est à remarquer que Ton obtient toujours des équations de cette même forme, si simple, en mesurant, à partir d'un point arbitraire S de Taxe {fig» 5), les distances àxi. pointobjet P, et, à partir du conjugué T de S, les distances ^u point-image Q. Pour établir cette démonstration, dans le cas le plus général, il nous faut rappeler les conventions adoptées sur les signes des longueurs géométriques : comptées à partir de l'origine de S; elles sont positives dans le sens AX, néga-

tives dans le sens AX'; au contraire, comptées à partir de l'origine T, elles ^oni positives dans le sens AX' et négatives dans la direction inverse.

Posons d'abord

AP=j[>, AQ = ^, AS = 5, AT=f, puis, d'après X^fig. 5 et d'après les conventions précédentes, SP=::A, TQ = — A', SF=z-H, TFi=-H'.

Les longueurs H et H' désignent, en valeur absolue, les dis-

Fig. 5.

tances focales par rapport aux points S et T, choisis comme

origines.

On déduit

h =AP — AS =/> — 5,

A' = QA — TA = ^ — ^, H =i:FA — SA=z/ — 5, H'nzFA — TA=:/— ^.

D'autre part, on a les deux relations suivantes entre les longueurs/?, q^s^t:

Dans la première, siibstitaons les râleurs de p et de ^ tirées des précédeotes égalités ; il vient

d'où, après développement,

Retranchant membre à membre, il reste

ce qui donne, grâce aux égalités posées plus haut,

Ainsi, quand on prend pour origines des distances un couple quelconque de points conjugués, on retombe toujours sur la même formule simple. Au pôle A et au centre de courbure O, Tobjet se confond avec son image, et les formules (2 ) et (3) ne sont, par conséquent, que des cas particuliers de la formule (4).

Si Ton fait coïncider le point S avec le premier foyer principal F, Téq nation (4) devient inapplicable, parce que les distances H' et A' deviennent infinies.

Mais prenons pour origines les deux foyers principaux F et F', et, dans la formule (2), posons

p = d-\-f et

d et d' sont les distances respectives du point lumineux et de son image aux foyers correspondants. Nous obtenons alors la forme la plus simple sous laquelle on puisse exprimer la loi de position des images, c'est-à-dire

(5) dd'=//'.

Cest la formule simplifiée ou form^ule de Newton.

Nous avons utilisé la formule classique pour la discussion des positions relatives des deux points conjugués P et P'. La formule transformée et la formule simplifiée auraient fourni, par une discussion aussi rapide, les mêmes résultats, et c'est un soin que nous laissons au lecteur. Mais l'équation de Newton, se prêtant à une construction graphique très simple, permet d'étudier directement les déplacements relatifs de P et de P' dans le voisinage du centre de courbure. A cet effet, sur AO comme diamètre, décrivons une demi-

Fig. 6.

circonférence {fig. 6); du premier foyer principal F, menons à cette circonférence une tangente FT : on aura

Ft' = FA X FO =/(/-+- R) ^ff.

Gela posé, prenons sur l'axe principal et derrière la surface un point P dont nous voulons avoir l'image ; décrivons Tare

de cercle PQ ayant son centre en F, puis traçons la ligne FQ jusqu'en Q' : nous aurons

FQxFQ'=FT =ff,

et comme, par hypothèse, FQ = d^ FQ' doit être égal à d! , Ainsi, comme ^ et d sont négatifs dans le cas actuel, d*après nos conventions, il faudra porter FQ' de F' en P', en sens contraire de FP, ce qui se fera graphiquement en menant Q'R parallèle à Taxe principal et rabattant R en P'.

Imaginons une telle construction effectuée pour toutes les positions du point P entre le pôle et le centre de courbure. On voit que les points P et P' se superposent d'abord en A, puis P' s'éloigne rapidement de P, qui s'avance lentement vers la droite. L'écart devient maximum pour

d=YTz=^d=WT=sUf, et les deux points conjugués sont à égale distance de part et

d'autre du centre M. A partir de là, comme P se déplace plus rapidement que P', l'écart PP' décroît très vite et les deux points conjugués se confondent de nouveau en O.

Plans conîngnés. — Un point S i^fig- i), pris en dehors de Taxe principal, est par rapport à la surface dans les mêmes conditions que le point P ; l'image S' se fait sur la droite OS, qui est un rayon de la sphère tout comme OP et les distances respectives de ces deux points conjugués S et S' à la surface réfringente sont liées entre elles par la même loi que celle qui détermine les positions relatives des foyers conjugués sur l'axe principal. Si OS = OP, on aura de même 08'=: OP'. Donc tous les points d'une calotte sphérique, dont le rayon est OS, ont pour conjugués les points d'une seconde calotte sphérique

dont le rayon est OS'. Ces deux calottes ont même axe OA, et, comme elles ont par hypothèse une faible ouverture, elles se confondent avec leurs plans tangents, qui sont perpendiculaires à Taxe principal aux points P et P'. D'après cela, tout point de Tun ^e ces plans a son conjugué ou son image dans le aecond, sur une ligne, appelée axe secondaire ou ligne de direction, qui passe par le centre de courbure de la surface. Les images d'objets couchés dans ces plans sont semblables et leur centre de similitude est en O. Les plans, menés ainsi perpendiculairement à Taxe principal par les points conjuguésy ont reçu la dénomination de plans conjugués.

Plans focaux. — De même qu'il y a des plans conjugués, il y a des plans focaux. Elevons au premier point focal F {/ig. 7 ) un plan FN perpendiculaire à Taxe principal ; nous aurons le premier plan focal. Si nous ne considérons que les parties

Fig. 7.

voisines de F, ce plan jouit d'une propriété importante : tout point lumineux N qui y est contenu enverra sur la surface réfringente des rayons qui, après la réfraction, se propageront dans le second milieu, parallèlement à l'axe secondaire ON relatif au point considéré. En effet, cette droite joue évidemment le rôle d'un axe principal, et, comme ND est sensiblement égal à FA, N occupe la position d'un premier foyer principal.

D'autre part, élevons au deuxième point focal F' un plan

F'N' perpendiculaire à l'axe principal; ce sera le second plan focal. Il renfermera V ensemble, ou, comme on dit, sera le lieu des foyers principaux relatifs aux diverses directions des axes secondaires, peu inclinés toutefois sur l'axe principal. En effet, considérons le point N', très voisin de F'; l'axe secondaire ON' a les mêmes propriétés qu'un axe principal, et, comme N'D est très sensiblement égal à F' A, N' joue le rôle d'un second foyer principal.

Construction des rayons conjugnés. — Les propriétés des plans focaux sont utiles à connaître, car elles nous permettent de construire le rayon réfracté correspondant à un rayon incident quelconque, et en particulier de déterminer géométriquement la position du foyer conjugué d'un point lumineux situé sur l'axe principal'.

Soit, par exemple, le rayon incident PI (/?^. 7); il s'agit de trouver le rayon réfracté correspondant. Graphiquement, on aura deux moyens :

I® Le rayon PI coupe le premier plan focal en N. On peut regarder ce rayon comme appartenant à un cône dont le sommet est en N ; or, nous savons que tout rayon issu d'un point du premier plan focal prend, en se réfractant, une direction parallèle à l'axe secondaire de ce point. Il suffit donc de tracer cet axe secondaire NO et de lui mener par le point d'incidence 1 une parallèle IP' : cette dernière droite est le rayon réfracté cherché.

2** Traçons l'axe secondaire parallèle au rayon incident PI ; soit NJ le point d'intersection de cet axe avec le second plan focal; Nj est, d'après la définition de ce dernier plan, le foyer où viennent se réunir après la réfraction les rayons incidents parallèles à ONj. Donc, en joignant INj, nous

obtenons le rayon réfracté correspondant au rayon incident PI.

Le quadrilatère NI N\0, formé par les deux axes secondaires NO, ONj, par le rayon incident et le rayon réfracté, est un parallélogramme.

Le point lumineux P, d'où part le rayon incident PI, aura évidemment pour conjugué le point P', où le rayon réfracté IP' coupe l'axe principal.

Les deux constructions précédentes s'appliquent aussi bien au cas où le point est hors de l'axe : ainsi l'image de Q est en Q' sur l'axe secondaire QO.

Pour familiariser le lecteur avec ces tracés graphiques, proposons-nous l'exercice suivant :

Construire le rayon réfracté, lorsque le rayon incident passe de Vair dans le milieu le plus réfringent à travers une surface concave {flg» 8).

Dans ce cas, on sait que les deux foyers principaux F et F'

Fig. 8.

sont virtuels : le premier est situé du côté de la lumière transmise, et le second du côté de la lumière incidente. Soient

FN, F'N' le premier et le second plan focal et PI un rayon incident.

I** Le rayon PI prolongé coupe le premier plan focal en N. Or, tout rayon issu virtuellement ou réellement d'un point du premier plan focal se réfracte parallèlement à Taxe secondaire de ce point. Donc, tirons Taxe secondaire NO et menons IHP' parallèle à NO; IHP' est le rayon réfracté et P' le conjugué virtuel de P.

2*» Tirons l'axe secondaire ON' parallèle à PI et coupant le second plan focal en N' ; ON' joue évidemment, par rapport à PI, le rôle d'un axe principal; donc N' est le point où se réunissent après la réfraction les rayons incidents parallèles à ON' ; en joignant IN', on a le rayon réfracté IH.

Construction des images. — Pour construire l'image d'un objet, il suffît de construire l'image de ses différents points. On vient de voir comment s'obtient l'image d'un point situé sur l'axe principal ou en dehors de cet axe. Les explications précédentes conduiraient donc immédiatement au tracé graphique de l'image d'un objet quelconque et dans les circonstances les plus générales. Toutefois, il nous paraît utile d'indiquer cette autre manière de construire l'image d'un point lumineux placé en dehors de l'axe principal.

Avant de poursuivre l'exposition, je ferai remarquer, une fois pour toutes, que les surfaces sphériques étant remplacées par leurs plans tangents, nous ne les figurerons plus courbes, et nous les représenterons dorénavant par une simple lign^ droite {fig, 9).

Soit donc IAK la surface réfringente dont les points focaux sont F et F', et soit Q un point hors de l'axe. Menons le rayon incident QI parallèle à l'axe principal ; le rayon réfracté cor-

respondant IF' doit passer par le second point focal F'. Joignons ensuite le point Q au premier point focal F ; le rayon QF rencontre la surface réfringente en K et se réfracte parallèlement à l'axe principal suivant KQ'. Les deux rayons réfractés IQ' et KQ' se coupent en Q', et nous savons que tous

Fig. 9.

les autres s'y coupent. Donc Q' est l'image ou le conjugué deQ.

L'axe secondaire QO, relatif au point Q, doit aussi passer par l'image Q'; de là évidemment deux autres manières de déterminer ce dernier point.

Enfin, d'après la propriété des plans conjugués, si l'on prend pour objet la flèche PQ perpendiculaire à l'axe principal, son image aura la même direction et s'obtiendra en menant P'Q perpendiculaire à l'axe PP'.

Grandeur de Timage. — Posons PQ = 0, P'Q'=i I ; à gauche, les triangles semblables FAK, QIK donnent {fig* 9)