FA PÂ

et, d'après les notations adoptées,

l-hO~p

à droite, les triangles semblables F' AI, Q'KI donnent pareillement , , /'

d'où, en additionnant membre à membre,

On retombe ainsi sur \di formule transformée*

On retrouverait la form^ule sim,plifiée en considérant, à gauche, les deux triangles semblables PFQ, FAK, et, à droite, les deux autres F' Al, P'F'Q'. La proportionnalité des côtés homologues donnerait

d'où

ff^dd'.

C'est Véquatîon de Newton.

En comparant les égalités (6) et (7), on obtient une autre expression du rapport entre la grandeur I de l'image et la grandeur O de l'objet,

ou encore

Les égalités (8) et (9) donnent une valeur très simple du

grossissement linéaire produit par une seule surface réfringente.

Il ne me paraît pas inutile de donner ici une relation entre la grandeur des images et la convergence des rayons.

Soient a et a' les angles que forment avec Taxe principal le rayon incident et son réfracté. On a, d'après la figure,

tang a' tangua On a trouvé plus haut

n n ce qui, transporté dans la formule (9), donne

nO tang a = /l'I tang a'.

Cette équation exprime une loi importante, qui lie la grandeur des images à la divergence des rayons, indépendamment de la distance de Vohjet et du rayon de courhure de la surface réfringente.

Elle est due à Helmholtz (*).

Nous avons dit plus haut que Timage de chaque point de l'objet se trouve dans le plan conjugué et sur la ligne joignant ce point au centre de la sphère, qui est ainsi un centre de similitude. Si donc l'image et l'objet sont de part et d'autre du centre, l'image sera renversée; elle sera droite dans le cas contraire.

D'après cela, tout objet placé au delà du premier point focal donne une image réelle et renversée {fig. 9), située de l'autre côté de la surface réfringente. En particulier, quand l'objet

(') Helholhtz, Optique physiologique, traduction Javal, p. 70.

est à une distance double de la première longueur focale, rimage lui est égale en grandeur : ce fait est une conséquence de la formule (2) et de la relation (9). Car, dans la première, introduisons l'hypothèse pz^iifi on déduit p*i=Lif\ et par suite on a I = O. Au delà de cette position privilégiée, Pimage est plus petite que Fobjet ; en deçà, elle devient plus grande. Enfin, lorsque l'objet est situé entre le premier foyer et la

Fig. 10.

surface, l'image est virtuelle droite et toujours plus grande que V objet. La fig, 10 explique la construction relative à ce dernier cas.

Remarque I.

Quand la surface réfringente devient plane, le rayon de courbure est infini et l'équation (i) se réduit à

d'où

L'image et l'objet se trouvent du même côté de la surface

réfringente, mais à une distance différente. En outre, l'image est de même grandeur que l'objet; on peut le reconnaître géométriquement ou le déduire de la formule (9), dans laquelle

on remplace les rapports ^ par -7 et ^-- par • Un arrive a

Le signe — indique que l'image virtuelle est droite.

Remarque IL

L'étude que nous venons de faire de l'action d'une surface sphérique sur un faisceau de rayons homocen triques s'applique aussi bien au cas de la réflexion qu'à celui de la réfraction : les raisonnements, constructions et relations sont analogues. Dans nos résultats précédents, il suffît de poser /i'r= — /i; on aura ceux qui conviennent aux miroirs.

Du reste, nous établirons plus loin le parallélisme de ces deux théories de la formation des images par réfraction et par réflexion.