IV

l'uissances fractionnaires des quantités géométriques. — Équation bindme.

67. Considérons maintenant l’opération inverse de l’élévation aux puissances, l’extraction des racines.

La racine m*“ de est définie par l’équation

Or, si l’on prend une quantité géométrique ayant pour module r" et pour allument .£• , il résulte de ce qu'on a vu dans le paragraphe précédent, que la puissance m““* de cette quantité sera . On aura donc

68. Nous avons remarqué (art. 39) que si l’on donne, comme cela a lieu généralement, une quantité géométrique par sa position sur le plan ou par ses composantes rectangulaires, l’argument p n’est déterminé qu’à un multiple quelconque de 2x près, de sorte qu’on pourra toujours le représenter par

k étant un nombre entier indéterminé, positif, nul ou négatif. Donc l’argument de l^r, , ou plutôt , aura pour valeur

un quelconque des angles compris dans la formule

p '2ktt

tandis que le module de cette racine aura une valeur arithmétique r" parfaitement déterminée.

Les directions distinctes qui répondront aux diverses déterminations de l^r,, , s’obtiendront en donnant à k les m valeurs

THf:onie i^x^'mentaire

Les directions qui correspondent à des valeurs de k différant entre elles d'un multiple de m , se confondront ensemble.

69. On peut représenter d’une manière très simple la multiplicité de valeurs d’une puissance fractionnaire d'une quantité géométrique.

Sur le cercle de rayon \ ayant pour centre l'origine, élevons un cylindre de révolution, et traçons sur ce cylindre une hélice d'un pas quelconque, que nous pourrons supposer infiniment petit. Prenons cette hélice pour directrice d’un hélico'ide gauche, ayant pour axe l’axe du cylindre, et dont nous pourrons supposer les génératrices terminées toutes à cet axe (').

En prenant pour unité d’arc d’hélice l’arc qui a pour projection l’unité d’arc de cercle, la spire de l’hélice ayant ainsi pour mesure le nombre , noua pourrons représenter la quantité géométrique

par une génératrice de l’hélicoïde ayant pour longueur r , et interceptant, à partir de l’origine des arcs d’hélice (que nous supposerons co'mcider avec l’origine des arcs de cercle), un arc égal è P . Si l’on imagine le pas de l'hélice infiniment petit, les diverses nappes de rhélico'idc viendront co'mcider avec le plan horizontal, qui se trouvera ainsi composé d’une infinité de nappes superposées.

Une quantité géométrique donnée par un point du plan horizontal sera représentée sur l’hélicoïde par un quelconque dos points de cette surface situés sur la verticale du point donné. Les rayons vecteurs ou les modules do tous ces points seront égaux au module de la projection. Mais les arguments, mesurés par les arcs d'hélice interceptés par les rayons vecteurs à partir de l’origine commune, seront égaux à l’un quelconque d’entre eux, à celui, par exemple, qui a môme valeur numérique p que l’argument de la projection, plus ou moins un nombre entier quelconque de spires de l’hélice. Ces arguments sont donc représentés par la formule

l’entier k pouvant prendre toutes les valeurs ^0. Ainsi, les

n On supposerait les génératrices prolongées dans les deux sens à partir <Ic l'axe, si l’on voulait introduire la considérai ion des modules négatifs.

IIKS l|L'ANTIT(;S COMPLEXES.

quantités géométriques de môme projection auront pour formule générale