Si l’on élève à une puissance quelconque m , cette

puissance aura pour expression

et le module r" de cette puissance sera, dans tous les cas, une quantité arithmétique déterminée.

Si l’exposant ni est entier, les dilférentes valeurs de l’argument

mp + 'ikm.T

différeront entre elles de multiples exacts de 2i: . Elles correspondront donc à des directions dont les projections se confondront; de sorte que toutes les valeurs de

( '’p + îtTr)

seront des quantités géométriques égales, les points de l’hélicoïde qui les représentent étant tous situés sur une môme verticale.

Lorsque, au lieu de l’entier m , on prend pour exposant une fraction ^ , m et n étant des entiers premiers entre eux, les restes de la division km par » seront, dans un ordre quelconque, les n nombres

lorsqu’on donnera à k toutes les valeurs possibles. Donc les valeurs de l’argument

P -i - ‘2 k TT

seront de la forme

k étant un nombre entier quelconque, positif, nul ou négatif, et /A un des n nombres

En faisant abstraction du terme '2ki: , on voit que les valeurs de l'argument correspondent à n directions distinctes, partageant

TilÉUItit tl.^.MtNTAIIIK

la circonférence de base en n parties égales. Donc les points de l’hélicoïde qui représenteront les diverses valeurs de

( % + ï * rr )

se trouveront sur n verticales différentes, distribuées régulièrement

sur la surface d’un cylindre de rayon r" , et elles auront n projections distinctes, qui diviseront en n parties égales la circonfélence de base de ce cylindre.

Donc, tant que l'argument p n'est connu qu'à un multiple de

près, la puissance fractionnaire aura n valeurs distinctes, de môme module, mais d'ai^ments différents. En d'autres termes, l'équation

= (a + là)"

a n racines distinctes, lorsque m et n sont premiers entre eux, et en particulier lorsque m = 1 (*).

(■) Si m n'est pas premier avec n, remplaçons tu et n par Im . Xn. L'équation deviendra

Si l'on met [a + 1'6) ** sous la forme

ou aura, sans ambiguïté,

Àai(fa-itTr) '

*" — iP") t \ ’

m et n étant premiers entre eux. Il y aura donc n soluüons. Mais, si l'on écrivait

(a + i'fc)^" — (s^"X .

' ^ -4- lATT

l'argument de z serait

le résidu de - — étant susceptible de in valeurs, tandis que celui de

in • An

n'en avait que n .

On aura donc n ou in solutions, suivant que l'on .supposera donnée la valeur de a 4 - i6 ou celle du (a 4-

DES Ul’AMITÉS COMPl.EXES.

71. E.\aininons spécialement le cas de la racine carrée. On voit

Pjj ji que, si OA = ou , on obtiendra la

valeur de la racine carrée de OA , ou la va-

leur de (r*). , en* construisant une

moyenne proportionnelle OB entre les lon- ‘giicurs 0 1 et OA , et portant OB sur la bissectrice de l’angle AOx ou sur son prolongement OB', suivant que k sera pair ou impair.

72. Si l’on propose, en particulier, d’extraire la racine carrée d'une quantité négative

^ ^K+îkit ’

on pourra d’abord faire abstraction du module, puisque l’on a, en général.

et qu’ainsi il suffit, dans tous les cas, d’opérer sur 1^ , et de multiplier le résultat par la valeur arithmétique de la puissance du module.

Or, on a

( *r + *»it)

— +lkTf

selon que k est pair ou impair, en posant donc, comme nous l’avons déjà fait (art. 0.1),

la valeur générale de la racine carrée de — ^ -- ' ■

Donc

k" — r = ± «kr”.