Supposons enfin que l’on fasse tendre vers un nombre

incommensuniblc a . Le module de (r^)" tendra vers une limite déterminée r“ . Mais les n points du cercle, qui déterminent les n valeurs de l’ai^ument, deviendront infiniment nombreux et infiniment rapprochés, de sorte qu’il y aura toujours une des valeurs de

TllfoniF. l-l.tMENTAIRE

l’argument qui aura pour limite un angle quelconque choisi arbitrairement.

Donc si, comme c’est le cas ordinaire, n’est donné que par sa

projection sur le plan, et non par sa position même sur l’hélicoïde,

c’est-à-dire si l’on ne connaît l’argument do qu’à un multiple

de 2 Z près, une puissance incommensurable de aura bien un

module déterminé r* , mais rargurncnt de cette puissance sera

absolument indéterminé; de sorte que sera représenté par un

point quelconque du cercle de rayon r* . En d’autres termes, si l’on

pose , . , . «

X + ly = {a + ih) ,

X cty pourront prendre toutes les valeurs pour lesquelles on aura x' + y' = (a’ 4- b’)“ .

On ne pourra donc faire usage de la fonction {r^“, pour a incommensurable, que lorsqu’on pourra se contenter de connaître les limites entre lesquelles cette quantité est renfermée, ce qui arrivera, par exemple, si r est infiniment petit.

Oes àiuations aljébrùjues.

74. D’après ce que nous avons vu dans le paragraphe précédent, une équation binême, qui, en quantités réelles, pouvait avoir au plus deux racines, quelquefois une seule ou môme aucune, aura maintenant dans tous les cas, par l’introduction des quantités géométriques et la généralisation des opérations, autant de racines distinctes qu’il y a d’unités dans son degré, quel que soit ce degré.

On peut conclure de là que toute équation algébrique résoluble par radicaux, c’est-à-dire pouvant se ramener à la résolution des équations binômes, sera toujours susceptible d'une solution en quantités complexes, d’où l’on conclut, par le raisonnement connu, qu’elle admettra toujours un nombre de racines égal à son degré. Tel est, en particulier, le cas des équations des quatre premiers degrés.

Mais cette propriété s’étend îiussi à toute tkpiation algébrique d'un degré quelconque. On sait que, pour le démontrer, il suflit de faire voir que toute équation algébrique, à coc'ATieienls réels ou

nRS qi:a.\tit£s complexes.

coniplexcs, admet au moins une racine complexe, de la forme ri' ou X + iy . Nous allons reproduire ici la démonstration de ce théorème donnée par Legendre, en la présentant à peu près sous la même forme qu’Argand (art. 12).