Soit

un polynéme entier et rationnel de degré m, dont les coeflicienLs a,, a,, ..., O. sont des quantités quelconques, réelles ou complexes. Pour chaque valeur de la variable

Z = = x+iy ,

on pourra construire les divers termes du polyndme; en les ajoutant, on obtiendra un polygone, généralement ouvert, et le côté Rp qui fermera ce polygone, sera la valeur du polyndme f{z).

Nous allons démontrer que, pour une valeur de z convenablement choisie, le polygone se ferme de lui-raéme, et que l’on a alors R = 0 ou /'(z) — 0.

Remarquons d’abord que, pour une valeur infiniment grande du module de z, le module du premier terme a.z", c’est-à-dire r** X mod.a, , finira par surpasser autant que l’on voudra le module de la somme des autres termes, et, par suite, l’extrémité finale du polygone s’éloignera autant que l’on voudra de l’origine.

Il est évident, d’un autre côté, que, parmi les positions, en nombre inCni, que peut prendre z dans toute fétendue du plan, il y en a une qui donne pour le module R de f{z) une valeur minimum, et, d’après la remarque précédente, ce module minimum ne peut correspondre qu'à une valeur finie du module do z . Il faut prouver maintenant que cette valeur minimum de R ne peut être autre que zéro.

possible, te = Rp la valeur de /"(:), de module minimum, ce module étant différent de zéro, et soit z la valeur corres|Hindante de la variable. Donnons à z un accroissement infiniment petit

dz = P ,

et voyons quelle sera la forme de l’accroisseiiieiit correspondiinl du polynéme (iz)