Soit, su est

Fie M.

Tlll-onie fïl.fIMRNTAIRE

Le terme a.z" devient

a^{z dzŸ = 0^(2" + »»z”~*d2+ xd;*) ,

Z désignant, abstraction faite de sa valeur numérique, une quantité qui ne devient pas infinie pour dz — 0. L'accroissement du terme en question sera donc

. m «•— ij J î

(i.a^z — ftia^z dZ'bxdz .

En calculant de môme les accroissements des autres termes, et faisant la somme, on obtiendra, pour l’accroissement de f (i), une expression de la forme

ma^z +(t» — l)a,3 + . . . + a^^^dz + xtlz ,

où le coefficient de dz n’est autre chose que la dérivée de f{z). Donc

d/(2) == f'(z)dz+xdz^ .

Supposons d’abord que f'{z) ne soit pas nul, et soit

La valeur de d.f{z) pourra s’écrire

expression qui, pour p infiniment petit, différera infiniment peu de son premier terme. Donc, en supposant que l’on fasse décrire au point z - 4 - dz un cercle de rayon infiniment petit p autour du point z , le module de df{z) différera infiniment peu de R'p , et son argument différera infiniment peu de P' + 9 . Donc le point w'-^[{z -\- dz) décrira autour de te une courbe infiniment peu différente d’un cercle, et dont le rayon vecteur fera, avec le rayon vecteur du cercle décrit autour de 2 , un angle presque constant et infiniment peu différent de P'.

Lors donc que l’on fera parcourir à z -'rdz le cercle complet autour de 2 , la fonction f{z -f-dz) devant, au bout de cetU' révolution, reprendre sa valeur primitive, décrira complètement la courbe fermée autour de te , et rencontrera par conséquent le rayon vecteur Oie quelque part entre O et te , si Ton a pris p assez petit pour avoir R';- < R , ce qui est toujours possible, tant que R n’est pas nul. Mais alors, pour la valeur de '-f qui ré|>ond à celle

nKS QUANTITÉS COMPLEXES.

rencontre, le module de f{i + dz) est moindre que celui de f{t). Donc le module de /'(z) n'était pas un minimum, comme on l'avait d'abord supposé.

Nous avons admis, dans cette démonstration, que f'{z) n'était pas nul. Si l'on avait f'{z) = 0 , on pousserait le développement plus loin, et, en désignant par

le coefficient de la puissance la moins élevée de dz qui ne disparaisse pas, on aurait

‘ P'+ny ' (« + l)y

expression qui diffère infiniment peu de son premier terme. On verrait de même que si z-\- dz fait le tour de z sur un cercle infiniment petit, ou seulement la «'*“• partie de ce tour, f{z + dz) fera le tour complet de w , et l'on en conclura de la môme manière que le module de f{z) ne peut pas être un minimum, s'il est différent de zéro.

Donc puisque ce minimum existe, et qu'il ne peut pas être différent de zéro, il est nécessairement égal à zéro. Donc l'^uation

fU) = O

a au moins une racine de la forme ou .t -h iy , d'où l’on conclut ensuite qu’elle en a non-seulement une, mais m , c’est-iVdire autant qu’il y a d'unités dans son degré.

Ce théorème démontré, on peut établir alors d'une manière générale toutes les propriétés fondamentales des équations algébriques.

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