Dp l'équation

il résulte que la fonction 1^ jouit de la propriété générale expriméi' par l'équation fonctionnelle

laquelle caractérise, comme on sait, les exponentielles réelles. On est donc conduit à rapprocher la fonction des exponentielles. Or, si l’on développe en série l’expression

il vient

1^ = cos p + i sin p .

üL

ce que l’on peut écrire aussi sous la forme

Le second membre de cette égalité n’est autre chose que ce que devient le développement de l’exponentielle

' T ir

lorsqu’on y remplace x par ip .

Si donc on prend cette série, qui est toujours convergente, pour définition de l’exponentielle e*, la même définition, appliquée au cas où l’on remplace x par ip , donnera pour résultat . 11 sera donc naturel de désigner cette quantité par le symbole c*', de sorte que l’extension de la définition de l’exponentielle par la série, pour le cas de l’exposant imaginaire, s’obtiendra en posant

Cette exponentielle imaginaire ainsi définie satisfaisant, comme l’exponentielle réelle, à l’équation caractéristique (1), sur laquelle est fondé tout le calcul des exponentielles, il s’ensuit de là que le calcul des exponentielles imaginaires se fera par les mêmes règles que celui des exponentielles réelles.

Remarquons en particulier les équations suivantes, qui résultent de cette définition ;

g«k7T( co3'2i;r + j3in2tff = +1 ,

k étant un nombre entier quelconque; et de mémo

Ti , t ,

-11- un.

78. Si, dans l’équation de définition (2f, on remplace x successivement par deux quantités quelconques u et u , on prouve réciproquement, par des identités algébriques, qu’il résulte de celte définition fégalité

c’est-à-dire que toutes les fois que l’on prend l’équation (2) pour définition de l’exponentielle à exposant quelconque, réel, imaginaire ou complexe, celte exponentielle satisfait toujours à l’équation fonctionnelle (1).

Donc les règles du calcul des exponentielles, définies par féquation (2), subsisteront, quelle que soit la nature de l’exposant, et l’on aura, pour des valeurs quelconques de u et de i; ,

m étant une quantité réelle quelconque.

Si l’on remplace m par une quantité complexe quelconque v , nous prendrons pour définition de la puissance l’équation

/ « vV se . » vK

qui est une extension de la formule établie pour les exposanls réels.

Tlll^.ORIE ÉLËNENTAIIIE

79. Nous pouvons maintenant remplacer la notation provisoire, que nous avions employée jusqu'ici pour représenter les quantités géométriques, par une notation plus commode et plus expressive. On a, d'après ce qu'on vient de voir,

r = r . 1 = re' .

C'est sous cette dernière forme que nous représenterons désormais les quantités géométriques dont 1a multi[)licalion et l'élévation aux puissances rentreront dès lors complètement dans les règles générales de l'algèbre des quantités réelles.

80. Étudions maintenant les propriétés de la fonction exponentielle e‘, dont l'exposant z est une quantité complexe, de la forme x + iy .

On a (art. 78)

e* = «*■'■**' ^ e*. e** = e*(cosÿ -t-isiny) ,

d'où l'on voit que cette expression se présente elle-même sous la forme complexe, ^ étant le module, et y l'argument.

On a, de plus (art. 77),

gt + Uizl ^ gt ^ 1 P»

Donc l'exponentielle c* ne change pas de valeur, lorsqu'on augmente la variable z d'un multiple quelconque de la quantité imaginaire de sorte que, si l'on fait varier z de manière à le faire croître de 2i:t ou d’un multiple de 2rt , la fonction e’ reprendra sa valeur primitive. On dit pour cette raison que e‘ est une fonction périodique de z , dont rtwdice de périodicité ou la période est .

Fin. *3. Représentons géométriquement celte

périodicité. Soit z = Æ-f-i»/ un point du plan, y étant d'abord sup[K)sé positif et moindre que 2-. Si l'on mène par ce point une parallèle à l'axe des y , et que, de part et d'autre de z , on porte sur cette parallèle, à la suite les unes des autres, des longueurs égales à 2?:, on obtiendra une suite indéfinie de points

pour lesquels la fonction e* aura la même valeur.

DES QUANTITÉS COMPl.EXES. 53

Réciproquement, il est aisé de voir que ces points sont les seuls pour lesquels e' ait la valeur considérée.

Si, de part et d’autre de l’origine O , on porte de même sur l’axe des y , à la suite les unes des autres, des longueurs égales à Sr, et que, par les points de division, on mène des parallèles à Ox, ces parallèles partageront le plan en bandes horizontales, de hauteur , et de longueur infinie dans les deux sens, et dont chacune comprendra évidemment un des points

et un seul. Ces points seront placés de la même manière dans leurs bandes respectives, de sorte que deux de ces points viendront coïncider l’un avec l’autre, si l’on fait glisser l’une des bandes le long de l’axe des y , jusqu’à ce qu’elle vienne s’appliquer sur l’autre.

Il résulte de là que, dans chacune de ces bandes, la fonction e‘ parcourt la scrie complète de ses valeurs, et qu’elle y prend chaque valeur une seule fois.

Si l’on fait décrire à z une courbe quelconque dans une des bandes, ce qui donnera une certaine série de valeurs de e* , on obtiendra la même série de valeurs en faisant décrire à z une courbe égale située de la même manière par rapport à une autre bande quelconque.