Les exponentielles dont les fonctions cos z et sin z

sont formées par addition et soustraction, ayant l’une et l’autre pour période , ces fonctions elles-mêmes auront aussi pour période , de sorte que l’on aura, h étant un entier quelconque,

cos ( 2 -t - 2 A- ir ) = cos 2 , sin (2 -(■ 2 Att) — sin 2 .

Si l’on partage le plan en bandes verticales de largeur 2 t;, les deux fonctions cos z et sin z prendront, dans chacune de cæs bandes, la totalité de leurs valeurs.

Mais on ne [wurra plus dire, comme pour l’exponentielle, que

DES Ql ANTITÊS COMI'I.EXES.

ces fonctions ne prennent la môme valeur qu’une seule fois dans chaque bande. Considérons, en effet, la fonction

it -Il

COS Z = r * •

Il est clair qu’elle ne change pas de valeur lorsqu’on remplace I par — Z . On a donc

cos ( — z) = cos Z ,

et, plus généralement,

COS( — Z 4- ’îkn) = COS(3 4- -Ik'n) ,

quels que soient les entiers k et A- ' . De là résulte que cos z repremj Tilt î». la môme valeur nnn-seiilcinenl

pour les point-s

. . . , , z , Zj , ...

situés dans chaque bande sur une rnôme parellèle à Ox , mais encore pour les points

disposés symétriquement aux premiers par rapport à l’origine O , et formant une seconde série de points équidistants, rangés sur une autre parallèle à O'x .

Donc la fonction cosz passe, dans chaque bande, deux fois par la même valeur, et il est aisé de voir que les deux points d'une môme bande auxquels répondent deux valeurs égales sont placés symétriquement par rapport aux points

• • • î ^ J » ÎT » ï • • • 1

qui occupent sur l’axe des x le milieu de chaque bande.

Si donc on fait décrire à z une courbe quelconque, la série des valeurs de cos : correspondante aux divers points de celle courbe se reproduira non-seulement pour les courbes égales, disposées de la môme manière par rapiwrt aux autres bandes, mais encore jwiir les courbes symétriques de celles-là par rapport aux points - , centres de ces Ixmdes.

84. On pourrait discuter de môme directement la fonction sin ; .

Mais on peut aussi ramener immédiatement sa discussion à celle de cos Z . En effet, on a

d’où

— cos(z— = cos(^— z) .

On aura donc, non-seulement

sin Z = C03 (z — ^ -f- 2 A' ir) = sin (z + 2 i ff) ,

mais encore

sin Z = C08 (— Z H- ^) = sin — (Z — -^) J = gin (»r — z) ,

d’où l’on conclura que la fonction sin z prend, dans chaque bande, la totalité de ses valeurs, et chaque valeur deux fois dans la même bande.