La fonction

tangz

pouvant se mettre sous la forme

gin Z cos Z

, lA —I»

—fl

tangz =

, iis ,

~T ~îTi ,

est liée à e**' par une équation du premier degré, et aura la même période que cette exponentielle, c’est-à-dire la période z , de sorte qu’on aura, quel que soit l'entier A ,

tanp ( Z -f A n t — tan<r z •

DÛS quantités complexf.s.

Si l'on partage le plan en bandes verticales de largeur r. , tang z prendra dans chaque bande la totalité de ses valeurs, et chaque valeur une seule fois.

86. Ce que nous venons de dire des fonctions circulaires, s’appliquerait aux fonctions hyperboliques

Chz:

cos I ; =

Cl * • ^

Sli Z = -T- sin is = 25^

Th * * ■ Shz

Th. = -tang,.-=-g^,

au seul changement près des bandes verticales en bandes horizontales, et de l’indice de périodicité 2;: en 2ir» .

Des litgarilhmes.

87. Nous avons vu que la fonction e * , dans chacune des bandes horizontales de largeur 2x dans lesquelles on divise le plan, prend la série complète de ses valeurs, et prend chaque valeur une seule fois.

Réciproquement, étant donnée a priori une valeur quelconque de la fonction e‘, il est facile de voir que l’on pourra toujours assigner à z une valeur qui fasse prendre à e' la valeur donnée, et de cette valeur de z on en déduira une infinité d’autres, situées chacune dans chaque bande de largeur 2x .

Posons, en effet,

(1) «' = fo = U -I- le ,

w = u + iv étant la valeur donnée, et cherchons à déterminer pour Z une valeur de la forme x-hiy . En identifiant

e = e — e (cosy ^-ismy)

avec u-\-iv , il vient

cos y = M ,

/ flin y =: r ,

58 TIII^.OKIE ËI.ÊMKNTAIRK

d’où (art. 48, remarque)

X 1= logt/u’-i-f’ .

y = arc taiig -j— •

Si l’on observe que les arcs qui ont pour tangente , cl dont le sinus et le cosinus ont respectivement les signes de v et de u , ont une infinité de valeurs, différant entre elles par un multiple quelconque de 2r , et que l’on représente par arc (ang — - l’une d’entre elles, la plus petite valeur positive, par exemple, la valeur générale de y sera alors

y = arc taiig h ’iki; .

En appelant donc logarithme de ir = w+rv la fonction 2 inverse de l’exponentielle, et définie par l’équation (I), on aura

(2) lo?(« + n’) = logKd’ + r* 4- 1 are tamr — r'îhKi,

les fonctions logarithme et arc tangente du second membre étant prises dans leur sens arithmétique et restreint, tandis que la fonction logarithme du premier membre est prise dans le sens le plus général, au point de vue des quantités complexes.

Lorsqu’il est utile de distinguer par la notation le sens généralise des fonctions de quantités complexes, on le fait, en les entourant, à l’exemple de Cauchy, de doubles parenthèses, et en écrivant le premier membre de l’équation précédente sous la forme

log({M -H ir)) .

88. Si la valeur de l’exponentielle c’ était donnée sous la forme ou re**", on aurait de même

(3) log(r<’''’) = logr -t i/) t ,

d’où l’on pourrait déduire immédiatement la formule (2).

En particulier, si iv est une quantité réelle et positive, alors P = 0 , = r , et Ton a

log((r)) = log r -I 2 A- .

Ainsi, parmi les valeurs en nombre infini de log((r)), une seule est réelle ; c’est la valeur arithmétique.