I III
Des quanlilés et des opérations algébriques.
26. Un problème étant posé, l’algèbre nous enseigne à transformerles conditions données en d’autres qui permettent la résolution, exacte ou approchée, du problème à l’aide des opérations de l’arilhméliqne ou des constructions géométriques. Il peut se faire, dans certains cas, que l’on soit ainsi conduit à des opérations inexécutables, telle que celle de souslraire un plus grand nombre d’un plus petit.
L’imfiossibilité du problème, accusée par une opération impossible, peut être tantôt absolue, tantôt apparente. Elle sera absolue lorsque les conditions exprimées par l’équation du problème correspondront complètement à celles de l’énoncé, celui-ci ne pouvant donner lieu qu’à l’équation reconnue impossible.
D’autres fois, l’impossibilité est seulement apparente. C’est lorsque le problème pouvant offrir plusieurs cas entre lesquels on ne sait pas choisir a priori, on a mis un seul de ces cas en équation, et que le cas que l’on a pris n’est pas celui qui a lieu réellement.
(") Géométrie, livrp II.
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TIlP.OniE ÉI.f.MEXTAIIlK
27. On pout SC demander maintenant s’il n'est pas possible de donner à l'idée de quantité et aux définitions des opérations une extension analogue à celle que l'on a déjîl admise en arithmétique, pour passer du calcul des nombres entiers au calcul des fractions, cette extension devant permettre d’embrasser dans une même formule les divers cas d’une même question, et faire ainsi disparaître l’impossibilité, lorsqu’elle n'est qu’apparente.
Choisissons un exemple particulier, le plus simple possible. Une l>ersonnc reçoit une somme a et perd une somme b : on demande quel changement a subi l’état de sa fortune.
Il y a d’abord deux cas à distinguer, le changement pouvant avoir eu pour résultat soit un gain, soit une perte. Figurons géométriquement les opérations nécessaires à la solution du problème.
Si l’on suppose d’abord qu’il y ait un gain, prenons ce gain pour 4 . inconnue. Portons, sur la droite Oa:, une
. • ( J, longueur OA = a , et retranchons-en la lon-
” B A gueur AB = b. Alors laditférencc OB repré-
sentera le gain cherché.
Si l’on suppose, au contraire, qu’il y ait eu perte, on portera, Fig . 5 sur une ligne Oa;', une longueur OB' = b,
et l’on en soustraira B’ A' — a. Le résultat
O 'A' sera la perte cherchée.
Le premier cas est possible, si l’on a a > 6; le second, si l’on a a < é ; c’est ce que supposent les deux figures.
Voyons maintenant ce que deviendrait la solution du premier cas pour a < é. De la ligne OA, il s’agirait de soustraire la ligne plus grande AB, ce qui est arithmétiquement impossible. Si néanmoins nous e.\écutons la même construction g(k)tnétrique que dans Fig. 6. le cas où la soustraction est possible, le
1^ point B se trouvera porté à gauche du B O A point 0, à une distance OB — i — a. Or, cette distance donne précisément la valeur de la perte qui a réellement lieu. Donc la même construction géométrique peut servir à résoudre les deux cas du problème, et la solution sera toujours représentée par la distance OB, portée à droite du point 0, lorsque c’est un gain, à gauche, lorsque c’est une perte.
Cette construction a, de plus, l’avanUige de pouvoir faire connaitre en même temps l’état de la fortune du [Xissesseur. Suppo-sons,
DES QUAMITÉS COMPLEXES.
en effet, que celle fortune soit représentée par la longueur ûO. Fij.7. 11 faudra lui ajouter la solution OB, lorsque
i S ® ce sera un gain; l'en retrancher, lorsque
— ïî i — 6 * ce sera une perte. 11 faudra donc porter
la solution, dans le premier cas, à droite, dans le second cas, é gauche du point O, et c’est précisément ce que donne la construction précédente.
28. On voit aisément que la construction géoméiriquc du premier cas revient à porter l’un à la suite de l’autre, en sens opposés, les axes Ox, O'x' {fig. 4 et 5), sur lesquels sont comptés respec- Fig. 8. tivement les gains et les perles. Le
I 9 I I I 1 -^ passage du gain à la perte, qui se fait
B O' B B A par degrés continus, lorsqu’on fait
croître b, par exemple, se trouvera indiqué par le passage du point B de la droite à la gauche de l’origine 0, et l’on n’aura plus à se demander sur lequel des deux axes il faut porter le résultat, la construction le portant d’elle-même sur l’axe convenable.
Les deux axes n’étant plus terminés l’un et l’autre au point 0, et se servant mutuellement de prolongement, le point B ne risquera plus, pour ainsi dire, de tomber dans le vide, lorsqu’on aura fait la construction du gain pour le cas de la perte, ou vice versa. La soustraction définie géométriquement ne sera donc plus impossible, comme pouvait l’être la soustraction arithmétique.
29. Si donc nous désignons par le signe — la soustraction géométrique, et par x le segment OB, la solution du problème sera toujours fournie par l’équation
la longueur de OB donnant la grandeur du gain ou de la perle, et la direction de OB indiquant si c’est à un gain ou à une perte que s’applique celte grandeur.
Si maintenant k représente la fortune primitive, y la fortune actuelle du possesseur, on aura, s’il y a gain.
s’il y a perte.
y = A-+-OB; y = i — ÜB.
THÈOHIE ËLËMENTAlilE
Dans le premier cas, on a évidemment,
Voyons comment nous pourrons faire rentrer le second cas dans la même formule.
80. Nous avons défini, dans la représentation des grandeurs arithmétiques ou absolues, le point initial comme étant l’extrémité la plus rapprochée de l’origine 0, le point final comme étant l’extrémité la plus éloignée de cette origine. En d'autres termes plus généraux, nous avons établi, quelle que soit la position du segment considéré, que l’on va du point initial au point final en marchant de la gauche vers la droite.
Considérons maintenant le segment OB, qui, suivant sa direction, représente un gain ou une perté. En se rappelant que l’axe x'Ox, indéfini dans les deux sens, a été formé par la juxtaposition des axes 0a;,0'a:' (fig. 4 et 5), indéfinis chacun dans un seul sens, on voit que 0 doit être considéré comme 1e point initial soit du gain, soit de la perte. Donc, dans la construction généralisée, on ira du point initial au point final de la solution ir, en marchant de gauche à droite si x représente un gain, et de droite à gauche si x représente une perte.
D’après ces conventions sur les noms à donner aux extrémités du segment 31, on voit que, si l’on étend à tous les cas la définition que nous avons donnée (n" 23), de Vaddiliun géométrique, la soustraction de la longueur OB, dans le cas où elle devra avoir lieu, sera précisément ce que nous devons appeler addition du segment dirigé x.
Donc, dans tous les cas, si l'on adopte pour l’addition et pour la soustraction leurs définitions géométriques, en ayant égard à la transposition des noms des extrémités qui correspond au changement de direction du segment, on aura, pour la solution complète du problème, les équations
dont la première fera connaître le gain ou la perte (celle-ci étant considérée comme un gain négatif), et l’autre, la fortune actuelle du possesseur.
