UES QUANTITÉS COMPLEXES

On voit que la soustraction géométrique se fait ici en prenant la différence des valeurs absolues, et portant le résultat dans le sens affecté au plus grand terme; et que l'addition géométrique répond, suivant le sens de x, soit à une addition, soit ü une soustraction arithmétique.

31. Nous pouvons encore compléter la généralisation que nous avons commencée. Dans la formule

l’addition géométrique suffit pour représenter à la fois l’addition d’un gain ou la soustraction d’une perte. Si, au lieu de représenter par X un gain porté à droite ou une perte portée à gauche, nous avions représenté para: une perte portée à droite ou un gain porté à gauche, nous aurions obtenu, au Heu de la formule précédente, la formule

qui aurait également répondu à tous les cas, en donnant à la soustraction géométrique la même extension que nous avons donnée à l’addition. Donc, lorsque deux quantités, se succédant l’une à l’autre d’une manière continue, sont représentées par des segments pris sur une même droite dans des sens opposés, l’addition géométrique de l’une peut être remplacée par la soustraction géométrique de l’autre, et réciproquement; de sorte que l’on passera du cas de l’une au cas de l’autre en changeant simplement le signe + ou — qui précédait la première, c’est-à-dire en remplaçant -+- a: par — x, — a; par -f- a:.

On peut indiquer ce changement d’avance une fois pour toutes, en convenant que, si l’une des quantités est représenté par a;, l’autre le sera par — a;, et établissant, pour règles des opérations algébriques, que l’addition se fera en laissant à chaque terme son signe, la soustraction en donnant à chaque terme un signe contraire.

Cette convention que nous avons faite relativement au résultat x de la première partie de la question, on peut aussi l’étendre aux données, et au lieu de représenter par a et 6 les grandeurs d’un gain et d’une perte, et d’indiquer explicitement par les signes -iet — la nature de ces quantités, on peut convenir que chacune

THËURIE Ë1.ËHENTAIRE

des lettres a, b représentera soit un gain, soit une perte, et sera figurée dans le premier cas par une ligne dirigée vers la droite, dans le second par une ligne dirigée vers la gauche, les lettres a cl b renfermant en elles celte notion distinctive de direction. Alors la formule

pourra être remplacée par la formule X ~a + 6,

pareille à la formule

?l pouvant servir à la solution non seulement de la question actuelle, mais encore des autres questions correspondantes aux cas où a représenterait une perle ou b un gain.

32. Remarquons, enfin, que le problème dont la solution est donnée par l'équation

y = X, OU y — k-\ a + 6

peut, dans certains cas, être possible ou impossible, suivant que l’on donnera ou non à la' lettre y la faculté de représenter une dette aussi bien qu'un avoir. Dans le premier cas, on supposerait que la personne, ayant perdu plus qu’elle ne possède, pourrait contracter une dette, en ayant recours à son crédit. Dans le second cas, on ne considérerait que les paiements réalisables, et alors un paiement surpassant l’avoir serait considéré comme impossible.

Voilà donc encore un exemple d’un cas d’impossibilité dont les circonstances ne peuvent être exprimées par des équations.

33. On donne le nom de quantités positives à celles qui sont représentées par des lignes dirigées dans le sens primitivement assigné aux quantités arithmétiques ou absolues de même nom, et le nom de quantités négatives à celles qui sont représentées par des lignes dirigées en sens contraire.

Nous désignerons provisoirement, avec Cauchy, sous le nom commun de quantités algébriques les quantités dirigées, c’est-à-dire les quantités positives et négatives représentées par des lettres comprenant implicitement le signe de direction.

DES UL'ANTIT&S CUXI'LEXES.