S IV

34. Prenons pour second exemple la relation qui exprime le mouvement uniforme d'un point sur une droile.

Représentons les temps par des segments pris sur la droile OT, et les espaces par des segments pris sur la droite parallèle O ' X. SoilO'a = u l'espace parcouru dans le temps 01 = 1. Les espaces étant proportionnels aux temps, l'espace a:, correspondant au temps / , sera donné par la proportion

d'où l'on voit comment la valeur x — al se construit au moyen d'une quatrième proportionnelle.

Cette construction, qui consiste à déterminer d’abord le point 1' où la droite la rencontre la perpendiculaire OY, puis à joindre Pau point! par une droile qui rencontre 0 'X à la distanceO' a: = x, servira évidemment aussi à faire connaître l lorsqu'on donnera t.

35. Si l'on considère les positions du mobile avant le temps que l'on a pris pour origine, on voit que le mobile se trouvait sur 0 ' X ' ,

à gauche du point 0' , en x' par exemple. Si l'on applique à ce cas la construction du numéro précédent pour trouver le temps au moyen de l'espace, on obtiendra pour représentation du temps un segment 0! ' , de gran- O'*’

deur égale à - q — ■ et situé à gauche de 0.

On est conduit, par les mêmes raisons que ci-dessus, à considérer ce temps t comme négatif, ainsi que l’espace x' . L’équation

x' = at'

représentera toujours la solution, en établissant cette règle des signes, que le produit d’un nombre positif a par une quantité positive ou négative, est de même signe que

Fie. 9.

TH^.UIUE El.ENK>'TAIHe

36. Nous avons supposé jusqu'ici le mouvement s'eiïectuant dans la direction même que l’on a choisie pour représenter les temps positifs. Supposons maintenant le mouvement dirigé en sens contraire, et continuons à compter les segments positivement à droite, négativement à gauche. Pour / = 1 , l’espace O'a sera négatif, et la quatrième proportionnelle x aux grandeurs 1, a, t (pour t positif), devra être dirigée dans le même sens que 0 ' a . et par suite devra être négative. Cest précisément ce qu’indique la construction géométrique étendue au cas où O'a est porté vers la gauche. Donc la formule

X = at

subsistera pour a négatif et l positif, à la condition de donner à x le signe de a.

Enfin, si, pour a négatif, on prend aussi t négatif, l’espace O'x devra être égal en grandeur au produit

O'a X or,

et porté vers la droite, c’est-à-dire positif, et c’est ce que donne encore la construction.

37. On voit donc que la construction de la multiplication, définie d’abord pour les grandeurs absolues, puis étendue aux grandeurs pourvues de signes de direction, conduit à la règle des signes pour la multiplication des quantités algébriques, et, par suite, à toutes les conséquences de cette règle.

Il est évident que tout ce que nous avons dit pour la multiplication s’applique aussi à la division.

38. Il résulte de là, en passant à l’élévation aux puissances, que toute puissance paire d’une quantité soit positive, soit négative, est positive, et que toute puissance impaire d’une quantité est de même signe que cette quantité.

Si l’on considère enfin l’opération inverse de l’élévation aux puissances, c’est-à-dire l’extraction des racines, on voit qu’étant

Fi». IS.

Fl«r. II.

IIKS UU^NTITËS complexes.

donnée une quantité quelconque, il existera toujours une racine de d^ré impair quelconque de cette quantité, et que cette racine unique sera de même signe que la puissance donnée.

Étant donnée une quantité positive, on pourra toujours lui trouver deux racines d’un degré pair quelconque, égales et de signe contraire.

Mais une qiiantilé négative ne saurait être produite par l’élévation d’aucune quantité ù une puissance paire. Donc une racine de degré pair d’une quantité négative est une quantité impossible ou imaginaire, tant que l’on n’aura pas rendu l’opération de l’extraction de la racine possible dans tous les cas, par une nouvelle extension de l’idée de quantité et de la définition des opérations.

Les quantités arithmétiques et les quantités algébriques, ou, en d’autres termes, les quantités positives et les quantités négatives, sont désignées par la dénomination commune de quantités réelles.

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