CHAPITRE III

DES (JUANTITÉS OÉOMÉTniQLES, OU VUANTITÉS COMIM.KXKS.

Définition des quantités géométriques.

39. Nous appellerons provisoirement, d’après Cauchy, quantité géométrique une droite donnée en grandeur et en direction, cette direction n’étant plus assujettie, comme pour les quantités algébriques, à être parallèle à une droite donnée, mais étant quelconque dans le plan.

Deux quantités géométriques sont dites égales géométriquement lorsqu’elles ont même longueur et môme direction, de sorte qu’on puisse les faire coïncider l’une avec l’autre, c’est-à-dire leur donner à la fois même extrémité initiale et même extrémité finale, en transportant l’une d’entre elles parallèlement à elle-même.

La longueur de la droite s’appelle le module de la quantité géométrique. L’angle que fait sa direction avec un axe fixe s’appelle son argument.

Deux quantités géométriques sont donc égales lorsqu’elles ont des modules égaux et des arguments soit égaux, soit différant l’un do l’autre d’un inultiple quelconque de quatre angles droits, .\insi l’égalité de deux quantités géométriques z, z' entraîne les deux égalités numériques

raod. z — mod. z' , et

arg. z = arg. z> ,

ou du moins

arg. z = arg, r ' -f- 9 4 jr ,

k étant un nombre entier quelconque, positif, nul ou négatif.

En désignant par r le module et par p l’argument d’une quantité géométrique, nous représenterons, du moins provisoirement, la quantité géométrique par la notation

Une quantité positive peut être regardée comme une quantité géométrique d’argument 0 ou 'ikr.; une quantité négative, comme une quantité géométrique d’argument r. ou (2/; + 1)r .

UES UIA.NTITKS CUMPLEXES.

40. Au lieu de considérer la droite elle-même, il suflit de considérer scs deux extrémités, en ayant soin de distinguer l'extrémité initiale, d'où partirait un point pour décrire la droite dans la direction donnée, de l’extrémité finale, où ce point s’arrêterait.

Si l’extrémité initiale est fixe, et qu’on la prenne pour origine, la droite sera déterminée par sa seule extrémité finale, dont le module et l’argument seront les coordonnées polaires. Alors la quantité géométrique pourra être déterminée par un seul point du plan ; et réciproquement, tout point du plan pourra être représenté par une quantité géométrique ayant ce point pour extrémité finale, et l’origine des coordonnées pour extrémité initiale.