I II

Addition et eoustraclion des quantités géométriques.

41. Après avoir défini l'égalité des quantités géométriques, définissons maintenant leur addition.

Nous étendrons aux quantités géométriques la définition de cette opération donnée pour les quantités arithmétiques et algébriques. Pour ajouter deux quantités géométriques, on transportera fune d’elles parallèlement à elle-même, de manière que son extrémité initiale coïncide avec l’extrémité finale de l’autre. La droite qui va de l’extrémité initiale de la seconde à l’extrémité finale de la première est dite la somme des deux quantités géométriques.

On voit, par cette construction, que la somme de deux quantités géométriques est la diagonale du parallélogramme dont les côtés sont égaux et parallèles aux droites qui représentent ces quantités géométriques.

La somme de deux quantités géométriques ne change pas lors- Fiti. is. qu’on intervertit l’ordre des parties. Ainsi l’on a

■ÔC = ÔÂ -+- ÂC = OB -f- ÏÏC,

en indiquant par un trait supérieur une droite prise en grandeur et en direction, et considérée comme une quantité géométrique.

A ce point de vue, on peut dire qu’un côté d’un triangle est égal à la somme géométrique des deux autres côtés.

De même, la résultante de deux vitesses, de deux accélérations,

^6 THÉORIE ÉLÉUNTAIRB

de deux forces, etc., est égale à la somme géométrique des composantes.

42. De la définition de l’addition résulte immédiatement la délinition de l'opération inverse, c'est-à-dire de la soustraction. Si Ton a

ÔC = ÔA-+-ÔB, il en résultera, par définition,

ÔT = oc'— ÔB .

La soustraction s'effectuera donc en faisant coïncider les extrémités finales des deux termes de la différence, et prenant pour cette différence la droite qui va de l'extrémité initiale du terme positif à l'extrémité initiale du terme négatif.

43. On voit que, si l’on considère une quantité géométrique OB' , égale et opposée à OF, la construction qui donnera ÜC — TÏB

sera la même que celle qui donnera Oü -i- OB' . Donc si l’on considère deux quantités géométriques opposées, c’est-à-dire apnt des modules égaux et des arguments différant de r. (ou d’un multiple impair de r.), l’addition de l’une de ces deux quantités équivaudra à la soustraction de l’autre.

Si donc nous représentons l’une de ces quantités par -f- 2 , nous serons conduits, comme nous l’avons été dans le cas particulier des quantités algébriques, à représenter l'autre par — Z.

On a donc

p-t-TT 'p »

et, plus généralement,

k étant un nombre entier quelconque, positif, nul ou négatif.

44. Une quantité géométrique doit être considérée comme nulle, uel que soit son argument, lorsque son module sera nul. Il est

Fiü. U.

DKS UL’ANTITËS complexes. '27

clair alors que l'addition ou la soustraction de cette quantité n’auront aucune influence.

La somme de deux quantités opposées, ou, ce qui revient au même, la différence de deux quantités égales est nulle.

45. La somme de plusieurs quantités géométriques est le côté qui ferme le polygone dont les autres côtés sont égaux, en grandeur et en direction, aux quantités géométriques données.

Elle est nulle lorsque le polygone se ferme de lui-mème.

11 est aisé de voir que la somme d’un nombre quelconque de quantités géométriques ne dépend pas de l'ordre des parties.

Les théorèmes connus de géométrie font voir que les modules de la somme et de la différence de deux quantités sont compris l'un et fautre entre la somme et la différence des modules de ces quantités, et que le module de la somme de plusieurs quantités est moindre que la somme dos modules de ces quantités.

46. Décomposilion d’une quanlilé géométrique en ses composatUes rectangulaires. — Si l'on projette une quantité géométrique

sur un axe Qx, la projection, que nous désignerons par x, sera, d après la convention établie pour les quantités algébriques, positive ou négative, suivant que p (ou, s'il est plus grand que deux angles droits, son complément à 4 droits, 2z — p) sera aigu ou obtus.

Le rapport, positif ou négatif, de a; à la longueur r est dit le coimiw de l’angle p. On a évidemment

cos ( —p) = cos (îs- — p) z= cos p .

Si l’on projette de même sur un axe 0 y , faisant avec la partie positive de Ox un angle droit (compté dans le sens des angles croissants), la projection y sera positive ou négative, suivant que

l’angle p — y Y — ^ complément à 2z) sera aigu ou

obtus.

Le rapport, positif ou négatif,

L = cos(p-^^ = cos est dit le sinus de l'angle p. On voit aisément que

sin (—p) = cos -I- = — cos ~ P-

THËUHIE ÉI.ÉME.VrMHK

On a ainsi, par définition, pour les projections de sur les deux axes rectangulaires Ox, Oy,

X = rcos P , ÿ =. r siu/) .

Ces deux projections sont les coordonnées reclauyulaires du point dont r et P sont les coordonnées polaires.

47. La projection sur l'axe des x est une quantité géométrique ayant pour module la longueur absolue de la projection rcosp, et pour argument 0 ou t, suivant qu’elle est positive ou négative.

La projection sur l'axe des y est une quantité géométrique ayant pour module la longueur absolue de rsinp, et pour argument r r 3“

-I- ou ^ (ou suivant quelle sera positive ou négative.

Nous pourrons considérer, pour plus de simplicité, les x négatifs comme ayant un module négatif et un argument nul, de même que les x positifs. Pour faire la somme géométrique de deux ou de plusieurs x de signes quelconques, on fera alors la somme alycbrique des modules, et l’on donnera à cette somme rargumenl zéro, de sorte que l’on aura

De même, on considérera les y négatifs comme ayant un module négatif, et un argument = de même que les y positifs, et l’on aura, d’après cette convention,

yn + y\ + y\ + --~ {y + y + y +■■■),:■

48. Une quantité géométrique peut être regardée comme la somme géométrique de scs deux projections ou composâmes rectangulaires X oü Xq , y oü y^, de sorte qu’on aura

-Vr .

les modules, positifs ou négatifs, x cl y étant déterminés par les équations

X — reoap , y = r sin/) .

DRS QUANTITÉS CO)ll*LEXES. ’2H

d'où l'on tire

P = arc cos — = arc sin — = arc tan" — .

Remarque. L'expression arc tang convient également à deux directions opposées, aussi bien à celle qui répond aux valeurs ^ du cosinus et du sinus, qu’à celle qui répond aux valeurs de ces mêmes quantités. Pour abréger l'écri- •

turc, et pouvoir nous contenter dans tous les cas d’introduire l'expression de l'arc tangente, qui est généralement la plus simple,

nous conviendrons que la notation arc tang ou, plus explicitement, arc tang représente l’arc dont le sinus a le même signe que 1 »/, et le cosinus le même signe que +x. D’après cette convention, on aura

arc tang — ^ = arc tang — ± v .

49. On peut donc toujours considérer une quantité géométrique comme équivalente à la somme de deux composantes suivant des directions rectangulaires entre elles. C’est à ce point de vue que l’on a donné aux quantités géométriques le nom de quantités complexes, qui est le plus généralement adopté, et que nous emploierons le plus souvent dans ce qui va suivre.

50. L’addition de deux ou de plusieurs quantités complexes se ramène à l’addition de leurs composantes, et, d’après ce que nous avons vu, l’addition de ces composantes s’exécute sur chaque axe, d’après la règle de l’addition des quantités réelles. On a ainsi

+ r'^,-^r'^..-E- - = (Xo-4-x'o-+- -f- •••)-+- ■ •)

{X x’ -iT’ + •••)^ (- {y-hy'-¥ v’-+- ■•■)„ •

La somme de plusieurs quantités géométriques Z est nulle, lorsque les deux conditions nécessaires et suffisantes

2 ® = Z r cos ^ = O ,

2y = 2rsin/? = 0

sont satisfaites.

51. Si l'on a une égalité entre deux quantités complexes, cette égalité se décomposera en deux autres égalités, l'une entre les composantes horizontales, l’autre entre les composantes verticales.

On peut profiter de cette réunion de deux égalités en une seule pour présenter les formules sous la forme la plus simple.

Soit, par exemple, un triangle rectiligne ABC. Prenons pour arc de projection une droite quelconque kx, faisant un angle 0 avec le côté AB. L’égalité géométrique

ÂB = ÂC + CÏÏ

pourra s’écrire

En donnant à 0 diverses valeurs convenables, l’équation

cette formule fournira successivement toutes les formules de la trigonométrie rectiligne, et elle les résume toutes de la manière la plus succincte.

52. Des séries à termes complexes. — De ce que nous venons d’exposer sur l’addition des quantités complexes, il résulte qu’une série dont les termes sont des quantités complexes est convergente, quels que soient les arguments, toutes les fois que la série des modules est convergente, pourvu que l’on définisse la convergence des séries complexes ' par une extension de la définition de la convergence des séries nouvelles.

Une série réelle est dite convergente lorsque, pour n assez grand, la somme des k termes qui suivent le n'*"' tend vers zéro, quel que soit k , pourvu qu’il ne dépende pas de n.

Fi*. 15.

et ayant égard à

DES OL’ANTITÉS complexes. 31

De même, une série complexe sera dite convergente, lorsque, pour H assez grand, le module de la somme des f: termes qui suivent le n‘*"' tendra vers zéro, quel que soit k, indépendant de n.

Si la série des modules est convergente, en la représentant par

alors on devra avoir

infiniment petit, pour n infini, quel que soit k . Soit maintenant

la série complexe, dont les termes ont pour modules

Le module de la somme des k termes qui suivent le n”

est moindre que la somme des modules de ces termes, laquelle tend, par hypothèse, vers zéro pour n infini, quel que soit k. Donc il en est de même a fortiori du module de la somme

f. Donc la série complexe est convergente,

quels que soient d’ailleurs les arguments de ses termes.

On voit aisément que la convergence d’une série complexe entraîne la converge des deux séries réelles qui ont pour termes les composantes horizontales et verticales des termes de la série complexe, et réciproquement.

53. Considérons une quantité complexe variable, dont l’extrémité initiale est fixe, et que l’on peut représenter par sa seule extrémité finale. Nous désignerons, dans ce cas, par la même lettre : la quantité complexe elle-même et son extrémité finale.

Si le point z passe de la position z à la position z', la différence z' — Z représentera en grandeur et en direction la distance de ces deux positions.

THËOKIE ÉLiNMENTtlIlE

Si l'on fait varier d’une manière continue la quantité complexe z , ou, ce qui revient au même, son module r et son argument p, ou encore ses deux composantes a: et y, le point : se déplacera, en décrivant une certaine ligne dont la forme dépendra de la relation arbitraire que l'on établira entre les coordonnées polaires r et ou entre les coordonnées rectangulaires x et y. Nous appellerons cette ligne le chemin ou la trajectoire du point z .

Lorsqu’on suppose les deux positions î, z' infiniment voisines, leur distance, représentée en grandeur et en direction par la dilTérence infiniment petite z' — 2 , sera dite la dill'éi-entirlle de la variable r, et nous la désignerons, en conséquence, par le symbole dz .

Toutes les règles de la différentiation des quantités réelles qui ne dépendent que des règles de l’addition et de la soustraction, subsistent aussi pour les quantités complexes. On aura ainsi

dz = d{Xg) + d(y^)=z {dx)^-h [dy)^

.54. Le module de la quantité complexe dz, que nous représenterons par f , a pour valeur

V dx' + dy' = V dr' + r'dp' .

C’est l’élément infiniment petit ds de la courbe décrite par le point 2 .

Pour que dz soit infiniment petit, il faut et il suffit que son module p soit infiniment petit.

Mais l’argument de dz, c’est-à-dire l’angle

a = arc tan" -7^ r ^ dx

n’est assujetti à aucune condition, et peut prendre une valeur finie quelconque, dépendant de la forme du chemin de 2 .

55. Le chemin de z est la limite du polygone infinitésimal qui a pour côtés les accroissements dz successifs. La distance des deux positions extrêmes de 2 est la limite de la somme géométrique des côtés de ce polygone. Nous représenterons cette limite de somme d’éléments infiniment petits par le signe d’intégration.

UKS QIANTITÊS COMPLEXES.

Si donc le point z, partant de l’origine, arrive en Z après avoir décrit un chemin quelconque, la quantité géométrique OZ, ou le point Z qui la représente, seront désignés par l’intégrale

comme dans le cas des quantités réelles.

De même la droite qui joint les deux points i*®’ et Z de la trajectoire sera égale à l’intégrale

Si le chemin de z est une courbe fermée, alors en revenant au point de départ on a Z = z*®*. Donc l’intégrale /dz , prise tout le long d’un contour fermé quelconque, est nulle.

D’après ce que nous voyons ici, les valeurs des intégrales (I) et ('2) ne dépendent que des limites de l'intégration, et nullement du chemin parcouru entre ces deux limites. C'est grâce à cette indépendance que nous avons obtenu les valeurs de ces intégrales sous la même forme que dans le cas d'une variable réelle. Mais nous verrons plus tard qu’il ne faudrait pas étendre trop loin celle généralisation.