S III
.Vulliplicatiun, division et élévation aux puissances entières des quantités géométriques.
56. La définition de la multiplication par une quantité réelle se déduit de la définition de l’addition pour les quantités complexes comme pour les quantités réelles.
La multiplication par un nombre entier m est l’addition de m quantités égales au multiplicande. Ces quantités égales ayant même argument, la multiplication se réduira à la multiplication du module, de sorte qu'on aura
( 1 ) r^xm = (mr)^.
De la multiplication pr un nombre entier on passe, 5 l'aide du raisonnement connu, à la division pr un nombre entier, puis â la multiplication pr une fraction, et enfin, en invoquant le prin-
Tll(:OIIIE ÉLÉMEN’TAIBË
ai
cipe (les limites, à la multiplication par un nombre incommensurable. On en (inclura, dans tous les cas, que, pour multiplier une quantité géométrique r, par un nombre quelconque m, commen surablc ou non, il sufTit de multiplier le module r parce nombre, sans changer l’argument-
On peut maintenant représenter la multiplicateur m par le rap port de deux lignes, Om : 0 1 . Soit alors Oi = le multiplicande.
On multipliera le module O 2 par m en construisant le triangle 0»nu' semblable 5 01 1 , e( puisque l’argument ne doit pas changer, Oir représentera, en grandeur et en direction, hproduit de z par m .
On voit que la construction revient à joindre les points i et 2 , et à mener par l'extrémité m du multiplicateur une parallèle niu> à 1z, jusqu’à la rencontre de la droite Oz.
57. Le multiplicateur arithmétique Om peut être considéré comme une quantité algébrique positive. Étendons maintenant la
même construction au cas où le multiplicateur est une quantité négative. Alors le produit Oie, au lieu d’avoir la môme direction que Oz, sera dirigé suivant le prolongement de Oz .
On a donc
Or, la quantité algébrique ±m peut être regardée comme une quantité géométrique de module m et d’argument 0 ou s , et on peut la représenter par m, ou par m,. . Dès lors, les deux formules précédentes (1) et (2) deviennent
et l’on peut dire que la multiplication d’une quantité complexe par une quantité algébrique s’elTectue en faisant le produit des modules et l’addition des arguments des deux facteurs.
58. Supposons maintenant que l’on applique la nu'^me construction au cas où le multiplicateur réel ±m est remplacé par une
Fiü. 17
Fin. 16.
IIES QUANTITÉS COMI'I.ÉXES.
quantité géométrique quelconque z' = r'^. . On devra construire sur Oz' un triangle Oz te semblable au triangle Olz. La Fi». 1». quantité géométrique Ôte , ainsi obtenue, aura pour module Ote — rr' et pour argument teOx = p + })'.
11 est clair que l’on aurait obtenu la même quantité Oie, en construisant surOz un triangle Ozte semblable à 0 1 z' .
On peut donc, dans cette opération, prendre l’une pour l’autre les deux quantités z et z'. Cette opération jouit donc de la propriété fondamentale de la multiplication. Donc il est permis de lui donner le nom de mulUplicatioti.
Nous définirons donc la muUiplicnlion des (jninititês complexes comme une opération qui consiste dans la multiplication des modules et dans l’addition des arguments des facteurs; de sorte que l’on a, par définition.
r X r' , = (rr')
Cette régie comprend, comme cas particulier, la multiplication de deux facteurs algébriques ou d’un fauteur complexe par un facteur algébrique.
59. Si l’on considère maintenant un nombre quelconque de facteurs complexes,
il est aisé de voir que, de la définition donnée pour le cas de deux facteurs, résultera la définition pour le cas d’un nombre quelconque de facteurs, laquelle sera exprimée par la formule
= (rr'r’...) . .. ;
et de cette définition n5sulte immédiatement que le théorème sur f interversion des facteurs d’un produit s’étend au cas où le nombre des facteurs est quelconque.
On en conclut que toutes les règles de l’algèbre relatives à la multiplication des monômes s’appliquent aux produits de quantités complexes.
Four diviser l'une par l’autre deux quantités complexes, ou
TIlfiOKIK Èl.fMF.NTAIHK
prendra le quotient des modules et la difTércnce des arguments, de sorte que l’on aura
CO. Pour élever une quantité complexe à une puissance entière, on élèvera le module à cette puissance, et l’on multipliera l’argument par l’exposant de la puissance. Ainsi,
Celte formule est encore vraie lorsque m est un nombre entier négatif.
On |icut construire simplement la puissance m de la quantilé géométrique r^. Pour cela, soit Oi = 1,, ÜA,= r^. Joignons lA, ;
puis construisons la suite des triangles semblables 01 A, , OA, A, , OA,A, ,.... On aura successivement DA, = (r^)’, {r^y, ....
Le lieu des points 1 , A, , A, , ... est une spirale logarithmique.
On f)cut abréger la construction dans certains cas. Ainsi, pour obtenir (r^)‘ , on construira OA, = puis on fera le triangle OA, A.
semblable à 0 1 A, , ce qui donnera
Cl. Soient maintenant deux quantités complexes OA = 2 , À B = z' . Pour faire les produits OA', AB' de ces deux quantités par une troisième w, on construira deux triangles semblables OAA’ , ABB' . En menant A ’C égal et prallèle à AB', OC sera la somme de ces produits. Or, on démontre facilement que le triangle OC B est semblable à chacun des deux précédents. Donc OC représente le produit de OB = OA + AB par le même
multiplicateur w .
Fie.
UES üL'ASTITÉS complexes.
On conclut de là que, si z, z' et w sont trois quantités complexes, on a
{z + z').to = z.w + z' .w .
Donc pour multiplier une somme de quantités complexes par une quantité complexe, on multipliera chaque partie de la somme par le multiplicateur.
De là découle l’extension aux quantités complexes de toutes les règles relatives à la multiplication et à la division des polynémes réels, ainsi que des formules pour les puissances entières des binômes et des polynômes.
En un mot, les règles pour la formation des fonctions rationnelles sont les mômes pour les quantités complexes que pour les quantités réelles.
ü2. Considérons spécialement le cas des quantités représentées au moyen de leurs composantes rectangulaires
et appliquons à la multiplication de ces quantités la règle de la multiplication des polynômes. On aura
Lorsque les modules a:, y,x',y', sont tous positifs, le produit devient évidemment
zz' = {XX') +{xy') ^+{yx')„ +(yy )„ „
= (xx’)^ -h (xy')„ + (9X')„ ■+■ (yy'),
ou, à cause de (yy')„ = — (yy')„ ,
zz' = {xx'—yy‘)^+ (•ry'+ ya:')„ •
TMËUniK ËI.ÉMF.NTAIRK
Si un module, x par exemple, était négatif et = — x, on aurait
•^(.^' 0 = *7t*'o= = Ua'Oo-
et de même pour les autres cas, de sorte que le résultat précédent est tout à fait général.
03. On peut arriver au même but d’une manière plus simple, en SC servant d’une notation plus commode.
On a, d’après la règle de la multiplication,
et cette formule subsiste encore, lors même que r est un module susceptible de signe. On a donc
1 , = rr' . 1 r ?+p
On peut donc, dans la multiplication des quantités géométriques, mettre en facteur le produit des modules, et remplacer ensuite les modules par l’unité.
D’après cette remarque, écrivons la quantité complexe Æp 4sous la forme T
®-lo+ÿ-U • s
Remarquons maintenant que 1, est l’unité absolue, que l’on peut se dispenser d’écrire comme facteur. Désignons ensuite par la lettre i 1’m/u'/c imaginaire , ou celui des rayons du cercle de
rayon 1 , qui est mené perpendiculairement au diamètre horizontal . La quantité complexe se présentera alors sous la forme
x+iy .
En appliquant la règle de la multiplication aux deux binêmcs X + iy , x' + iy' ,
on devra remarquer que l’on a
et, par suite, on remplacera le carré de la quantité géométrique i par — 1. La formule du numéro précédent deviendra alors
( 1 ) i.r i iy) (x'-t-i//') = ,rx'—yy'+i (ry’-i y.r') ,
DKü UUiNTITËS COHPLEXKS. 39
rx' — yy' étant une quantité d'argument zéro, et le produit i(xy'4 yx') = {xy'+yx') .
étant la même chose que {xy'+ yx')„ .
D’après cela, les quantités complexes, mises sous la forme x + iy, pourront être traitées suivant les règles de calcul établies pour les quantités réelles, pourvu que l’on traite le symbole i comme une quantité dont le carré est — 1.
Dans le binôme x + ty, la composante x porte le nom de partie réelle; la composante iy, celui de partie itnaginaire.
Nous appliquerons toujours la dénomination à' imaginaires pures ou simplement i' imaginaires aux quantités de la forme iy, formées par la multiplication d’une quantité réelle et de Tuntte’ imaginaire.
64. On déduit de là les moyens, indiqués dans les Traités d’AIgèbre, pour ramener les produits, les quotients et les puissances entières de quantités complexes à la forme u + iv de quantités complexes. On traitera t comme une quantité ayant pour carré
et, par suite, pour puissances successives
etc.... ,
et en général, n étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif,
Hcinarquons en particulier que l’on a
Cîoogl
Cigili7^
THËORIB ËLÊMENTAine
