SI
lin posant encore
TIlftnniF. f.Lf.MKNTAinK
il vient
En miiltiplianl les deux membres par dz — ^
et intégrant entre les limites y = 0 et ^ = 2z, on a, pour toute 'aleur de n = 0, mais differente de — I ,
r=iA f"*' f +
tandis que, pour n = — 1, il vient
I dy= i A f dy — 'î.r.i.A^.
On verrait d'ailleurs, comme au n- 133, que, si R est le reste de
la série, l'intégrale j /W: est infiniment petite en même temps que U. Donc f vd: se réduit à ‘ir.iA , , d'où
Donc, lorsqu'une fonction te, discontinue au point e, est dévelopiiable en une série convergente, ordonnée suivant les puissances entières de z — c, et renfermant nécessairement des puissances négatives de : — c (sans quoi elle ne serait pas infinie pour z = c), le résidu de la fonction w relatif an point c sera égal au coefpcicnl de la puissance — \ de z — c dans le développemerd de w. Nous verrons plus tard dans quelles conditions ce développement est possible, et comment on en calcule les coefficients.
C’est ce dernier énoncé que Cauchy avait pris pour définition du résidu d'une fonction relatif au point c.
142. D’après cette notation, l'équation (1) du n® 135 devient
ItKS QtJA> riTfiS COMPI EXKS.
J wd: = ini^<LcW+ +
ou, par analogie, en représcnlant par le réddu inlégral relatif à l’aire 21,
<L^ to =<£', «’ ■
ou, plus brièvement.
le signe de sommation s’étendant à tous les points de discontinuité c renfermés dans l’aire 21.
Pour touL'point c où la fonction iv reste continue, le résidu
iL w est nul. On peut donc, sans changer le résidu intégral, y comprendre la somme des résidus relatifs à tous les points de 21 pour lesquels le est continue, et alors le résidu intégral pourra être considéré comme la somme des résidus relatifs ù ions les points de l’aire 21.
143. De la définition des résidus résultent immédiatement les relations suivantes ;
Si l’on suppose tous les résidus relatifs aux mêmes points de discontinuité ou à une même aire, on aura
£^(w,+ w,+ W,+ ...)=<£. tl\ + £-W, +
Si l’on considère une aire comme composée de plusieurs autres (les contours eux-mêmes ne passant par aucun point de discontinuité), on aura
ir
TMI.nllIK
; KI.KMKNTAIIiK
Si w est le produit de plusieurs fonctions ie, , w, , n'ayant pas de points de discontinuité communs, on aura, en adoptant la notation de Cauchy,
