S III
Rfpréienlaliuii J'ime fnncliim suiis fitrmr Je résiJit. — Théureines Je Cauchy et Je iMurent.
144. Soit f (r) une fonction uniforme et continue dans toute l'étendue de l’aire 21, et soit c un point quelconque de l’intérieur de cette aire. La fonction
sera uniforme et continue dans toute l’étendue de l’aire 24, excepté au point c. Donc l'intégrale fF{z)dz, prise tout le long du contour de 21) se réduira à fintégrale de la môme fonction, prise autour du point c. Or, on a
£ F(z)dz = Fiz) = iri. liai, (z-c) F{z),
pour 5 = c. Il est clair que
lim (z — c)F(z) = lim/'(î) = /’(c).
On aura donc l’équation fondamentale
iirtJeZ — C *~eZ—t
OU, en substituant (n" 138) le contour de faire 24 au contour infinitésimal tracé autour du point c.
iTTi
On conclut de là le théorème suivant ;
Si f(zj esl une fonction uniforme cl continue d'inti lou’c V étendue
DES UIAXTITÉS COMPLEXES.
lui
de l’aire 21, cl Z un point quelconque de l'inléricur de celle aire, la valeur de f(zl en ce point est égale à la valeur du résidu de
la fonclion relatif au point r, de sorte qu'on a
nz) :
2kI Jf Ç-r
OU, ce qui revient au même.
< rfi&it r Aç)
2rt
L fMilL
n Jn ï — 5
r IIÏL
145. La fonction est continue sur tout le contour de 21, non seulement par rapport à la variable Ç, mais encore par rapport à la variable s, c’est-à-dire qu'elle varie d'une manière continue, lorsque le point z se déplace d’une manière continue à l’intérieur de l’aire 21. On peut donc la différentier par rapport à ce qui donne
et, en général,
fii)
fit)
it-z)‘ ’
fit)
fit)
it-zF'
fit) .
fit)
On voit que toutes ces dérivées sont également continues tout le long du contour dc2l.
14G. Cela posé, soit F{t,z) une fonclion des variables Ç et :, continue par rapport à chacune d'elles tout le long du contour de 21. L’intégrale
sera généralement une fonction de z, que nous désignerons par (:). Si l’on change z en z + dz, on aura
•;.(;a(/î)= I F{e,z + ilz)di,
d'où
THfiORlK ÉLf.MKRTAlKK
Uz+Jz)-^{z) /• F(!;,z + dz)-F(t:,z) dz Jj, dz
Si l’on suppose maintenant dz infiniment petit, il viendra, à la limite,
D, >«-')= /'d /''(ç,2).dç,
ce qui montre que la règle ordinaire de la différentiation sous le signe f s’applique aux intégrales prises le long d’un contour ferme, l)Ourvu que la fonction sous le signe / et sa dérivée D,F(C, s) par rapport au paramètre z restent l’une et l’autre finies tout le long de ce contour.
11 résulte de là qu’on peut aussi différentier sous le signe , de sorte que l’on aura
et que, si : est le point de discontinuité de la fonction F(ï,3),
En appliquant cette formule à la fonction on tirera des
équations (t) et (2) les relations
[ riz)
r rn)
- i.i (;-zr
i r ru)<i:
c Aç)
e AC)
147. Ces relations conduisent d’abord à une conséquence importante. Les fonctions sous le signe /, dans les seconds membres des formules (S), étant toutes finies et continues, toutes les fois (juc Z est un point de l’intérieur de faire 21, les intégrales auront toutes des valeurs finies. Donc toutes les dérivées de /(;) sont des quantités finies.
DES OIASTITÉS COMPLEXES.
Il s'ensuit de là qu’elles sont aussi continues. Car (s) étant une quantité finie, l'accroissement
P’\z + dz)-P"\z) = [/■<•+"(:) + t] dz
il désignant un infiniment petit) sera infiniment petit en môme temps que dz, d’où l’on conclut que la fonction est continue. Il en sera de même, dès lors, pour toutes les dérivées précédentes.
Donc, si une fonction est uniforme et continue dans toute l’étendue de l’aire toutes les dérivées de la fonction seront aussi (les fonctions uniformes et continues dans toute l’étendue de la même aire.
Il en sera de môme aussi (n® 107, remarqué) pour toutes les dérivées partielles de la partie réelle et de la partie imaginaire de /■(=).
148. Soient Wet w deux fonctions quelconques de z, uniformes et continues l’une et l’autre dans faire "21. Il en sera de meme de leurs dérivées, et, par suite, du produit
ir.ü >c .
Donc l'intégrale
prise le long du contour de l’aire, est nulle.
