Supposons premièrement que le produit

fC.(Z-C) = /{z).(z-C)

converge vers une limite finie F, lorsque z — c tend vers 0, c’està-dire que la quantité

F=lira, [s./'(c-i-i)]

ait une valeur finie. L’intégrale

r n-.{z-c)df

est de la forme

r (X+iT)d?,

X et Y étant des quantités réelles, dépendantes de la position du point Z sur la circonférence, et par suite fonctions de la variable ^ et du paramètre infiniment petit p. On n donc

f’' Xdf = in. J»>(X),

f" rdr=2.r.ai,(r),

■tV(A') et A») (F) désignant des valeur.^ moyennes de A' et de Y. Par conséquent

j (z-c)d? = 2;r[Jtt(A') -t- 1 At.(r)].

Or le second membre a évidemment pour limite 2xF, lorsqu’on y fait converger p vers zéro, ou z vers c. Donc

(2) ( wdz = i7!Î .F,

en posant

(3) F= lim^^^ IC (z-c).

KRS OüANTITRS COMI'l.EXES.

Celte quantité F est ce que Cauchy appelle le rt'si</«dela fonction «I relatif au point c. Il s’est servi, pour désigner les résidus, de la

caractéristique c- , en entourant de doubles parenthèses le facteur de w dont la présence rend celte fonction discontinue au point c. Loi-sque ce facteur n’est pas en évidence, on multiplie et l’on divise par ce facteur, de sorte que la quantité F est représentée, d’après Cauchy, par la notation

Nous proposerons de simplifier un peu cette notation, en suivant la môme convention que nous employons déjà pour les intégrales prises le long d’un contour donné ou autour d'un point donné; et nous représenterons le résidu de la fonction le relatif au point c par la notation

On aura , d’après cela , nu lieu des formules (2) et (.’î) , les r ii'dz = 2iri . tj, u; .

Je e ■

V' = liin w[z — c).

141. Dans le cas où lim — r) est infinie, nous conserverons encore comme définition du i-ésidu l'équation (4) ou

(fi)

Mais le calcul de cette quantité ne sera plus aussi simple, l’équation (5) n’ayant plus lieu.

On peut cependant obtenir immédiatement le résidu, lorsque la fonction w est développable en une série convergente, finie ou infinie, ordonnée suivant les puissances entières, négatives, milles ou positives, de la différence z — c.

Supposons, en effet, que Ton ait un développement convergent de la fbrme

formules