Soit c un point de faire 21- De fidentité 1
= JuL + ... + j£:rE) —
on tire, en multipliant par f{K)d%, et intégrant tout le long du contour de faire 21,
inij^ i;-Z
.4„-i- .4, (;— ;c) + A,(z—c)‘ • -i- IK
TliÉniUE ÉLÉMKMAIIIE
lÜi
en posant, pour abréger,
et
~ izi
Jji(ï-c)’
P Aï)
~ iri
i-cT(i-z
Des équations (2) et (3), il résulte que l’on a
(fi)
.K = f(c), yl,=
fie)
Donc
(7) f{z)^f(c)-i--^(z-c)+.-+ {Z - cr ' + U. ,
et c'est dans celle relation que consiste le Thiîoiième de Caiciiy, qui contient comme cas particulier celui de Taylor.
Si le terme complémentaire est infiniment petit pour « infini, la formule (4) ou (7) donne alors le développement de la fonction /■(:) en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de la dilfércnce z — c. Celte série coïncide avec la série de Taylor dans le cas particulier de î et de c réels.
150. Supposons que l'aire 21, à l'intérieur de laquelle la fonction /■(:■) reste uniforme et continue, soit un cercle de rayon II, décrit du centre c, et posons
d’où
On aura alors
ç — c = flc'f ,
= iilf .
Zjt J O
~ 9-n I Aï)«“‘^ </?>
où il faudra remplacer Ç par c + Rc'?. En faisant, de plus,
on aura
re
Dans celte intégrale, la quantité sous le signe f est finie en tout point du contour, puisque le point z est intérieur à l’aire. Donc l’intégrale a toujours une valeur finie. D'autre part, le facteur
en dehors du signe /, est infiniment petit pour n infini.
puisque, pour tout point s intérieur au cercle, on a r < R. Donc est infiniment petit pour n infini. De là ce théorème ;
Pour qu'une fonclion f(z) soit développable suivant les puissances etUiéres cl, positives de la di/férencc z — c, il suffit que le point z soit intérieur à un cercle décrit du point c comme centre, avec un rayon tel que la fonclion f(z) soit uniforme et continue en tout point intérieur à ce cercle.
En d’autres termes, il suffit que le module de z — c soit inférieur à la distance du point c au point le plus voisin de c, pour lequel la fonction cesse dêlre uniforme et continue.
Le cercle décrit du centre c et passant par le point de discontinuité le plus voisin, s’appelle le cercle de convergence de la série.
151. Supposons maintenant que l’on donne les valeurs de la fonction pour une suite continue de points formant un élément, superficiel ou linéaire, aussi petit que l’on voudra, et soient c,c',c", ... des points de cet élément infiniment voisins.
lOC)
La dérivée d’une fonction de z étant indépendante de la direction de l’accroissement infiniment petit de z qui entre dans le rapport différentiel, on peut toujours supposer que les accroissements de : ont lieu sur l’élément considéré. On connaîtra dès lors, pour î = c, les valeurs de la fonction et de ses dérivées d’ordre quelconque,
f (c) = lim : lim-'
En appliquant la formule (5), on obtiendra le développement de la fonction suivant les puissances de z — c, pour toutes les valeurs de z renfermées dans le cercle de convergence décrit du centre c.
Prenons actuellement pour nouveau centre un point c,, intérieur au cercle C, niais aussi voisin que l’on voudra de la circonférence de ce cercle, et décrivons de ce centre c, un nouveau cercle de convergence C, , qui comprendra, en général, des points extérieurs au cercle (tt. On obtiendra ainsi, pour tous les points intérieurs à C, , un développement suivant les puissances entières et positives de z — c, .
En prenant de môme, pour nouveau centre, un point c, intérieur à C, , on décrira de ce point un nouveau cercle de convergence C„ qui comprendra une nouvelle portion do plan, et l’on pourra, à l'intérieur de C, , développer la fonction suivant les puissances de ♦ c,.
En continuant de cette manière, on pourra embrasser, dans l’ensemble de ces cercles, passant entre les points de discontinuité, tous les points s du plan que l’on voudra, et alors, pour chacun de CCS points, on aura un développement de la fonction donnée en série convergente. On aura môme plusieurs développements pour les points qui seront intérieurs à la fois à plusieurs cercles de convergence.
On déduit de là ce théorème ; une fonction f(z) doit rester uniforme et continue dans toute l’étendue de Faire 21 (sauf pour certains points désignés, où elle peut devenir discontinue), cette fonction sera complètement déterminée dans toute l'étendue de Faire 21. dès (juc l'on connaitra les valeurs gu elle prend en tons
DES OUAMITÉS COMPLEXES. 107
points d’m élément fini quelconque, superficiel ou linéaire, situé datis cette aire, et aussi petit que l'on voudra.
152. Si la fonction /‘(z)doit rester constante dans l’éléinent considéré, alors, en désignant encore par c, r' , c" , ... des points consécutifs pris sur cet élément, on aura {{c') — f{c), d’où
et de même ensuite
f (c) = lim = 0
puis, de la même manière.
et ainsi de suite, aussi loin qu'on voudra.
Si l’on prend maintenant le point c pour centre du cercle de convergence renfermé dans l’aire 21 considérée, la formule de développement (7) se réduira à
quelque grand que soit n; et comme 0^ est infiniment petit pour « infini, il en résulte que l’on a rigoureusement
f{z) = f{c) = constante,
dans toute l’étendue du cercle de convergence.
En raisonnant maintenant comme au n° 151, on étendra successivement la démonstration à toute l’aire 21.
Donc une fonction uniforme et continue à l'intérieur d’une aire 21 ne peut rester constante sur un élément fini quelconque, superficiel ou linéaire, situé dans cette aire et aussi petit que ton voudra, à moins que cette fonction ne se réduise à une constante dans toute l’étendue de l’aire.
11 en résulte immédiatement que deux fonctions uniformes et continues ne peuvent être égales sur un élément fini sans l’être dans toute l’aire.
THËOniE Eléne.ntaiiie
153. Dans l’évaluation des intégrales qui représentent les coefiicienls (n“ 150), on peut substituer au contour du cercle de convergence celui d’un cercle de même centre et de rayon moindre, et la valeur d’un coefficient quelconque
n’en sera pas altérée. On voit donc que cette intégrale est indépendante de la valeur du module il, tant que ce module n'atteint pas le rayon du cercle de convergence.
154. Théorème de Laurent. Supposons maintenant que la fonction / (î) soit uniforme et continue dans l’espace annulaire renfermé entre les contours de deux aires et a, intérieurs l'un à l’autre. Si l’on parcourt les deux contours dans le sens direct relativement aux deux aires 21 et a, comprises dans l’intérieur de ces contours, le sens direct pour l’aire a sera le sens rétrograde pour le contour intérieur de faire à connexion double 21 — a, et l’on aura
Si donc 2 est un point de faire annulaire 21 — a, nous aurons
d’où, en dilférentiant par rapport à 2 ,
155. Supposons maintenant que les deux contours soient deux cercles, de centre commun c, et de rayons R et r. Nous aurons identiquement
en posant toujours, pour Ç = c -1- fie •
(z-cf 1
IIF.S Ol'ANTITÊS Cnsll'l.F.XK.S.
<ly >
fitxH .
Pour la seconde intégrale de la formule (1), on a identiquement
- Iz-c {z-cy (r c)" (:-c)
d’où, en faisant
ï — c = re‘? ,
il vient
= ini r — -
' {Z -cy
en posant, pour ç = c + rc'^ ,
Le point z •■= re’’ + c étant situé extérieurement au cercle de rayon r, on a — < 1, et on en conclura, comme on l’a déjà fait
pour l'expression de Û, , que oi„ est infiniment petit pourm infini.
Donc, si f{z) est une fonction uniforme et continue dans l’aire comprise entre deux cercles de centre commun c et de rayons r et R, la fonction sera développable en une série convergente, ordonnée suivant les puissances entières, positives et négatives, de la différence z — c, et dans laquelle le coefficient A de la puissance, positive ou négative, (z — c)^ ‘ est déterminé par les formules (2) et (4).
TIllïOniR ÉLtJKENTAinK
Remarquons que l’on peut réduire ces doux formules à une seule. En effet, l'intégrale
est la même, quel que soit le contour fermé (tracé à l’intérieur de l’aire 21 — a et n’entourant qu’une seule fois le cercle a) le long duquel on prenne celte intégrale. On peut donc la prendre indifféremment soit le long du cercle extérieur, soit le long du cercle intérieur, soit le long d’un cercle intermédiaire quelconque de rayon p,. D’après cela, on pourra, dans les formules (2) et (4), remplacer il et r par p, et l’on aura alors, pour toute valeur positive, nulle ou négative de l’indice k,
156. Si la fonction /"(Ç) était uniforme et continue en tout point de l’aire du cercle intérieur, il en serait de même de la fonction
> pour toute valeur de z intérieure à ce cercle. Donc alors la seconde intégrale de la formule (1) ,
rnt)dt:
s’évanouirait, et avec elle la partie du développement qui contient les puissances négatives de : — c. On retomberait alors sur le théorème de Cauchy.
Si l’on suppose, au contraire, la fonction f{z) uniforme et continue pour tous les points en dehors du cercle intérieur, on pourra supposer le rayon R du cercle extérieur infini. Mais alors, dans l’expression (3) de (no 155), /"(Ç) convergeant vers une valeur nulle ou finie, l’intégrale
AO de
ne deviendra pas infinie, tandis que le facteur ^ tendra vers zéro. Donc ü, sera nul, quel que soit n, et en particulier pour
DES OCANTITI-S COMPLEXES.
ni
»i = I . Donc la partie de la série correspondante aux puissances positives de 3 — c se réduira à son premier terme
lequel s'annulera lui-même, si /(«>) =0. Alors le développement ne contiendra que des puissances négatives de : — c.
