Considérons, par exemple, la fonction

où l’on suppose uiod«<mod6. Si l’on décrit deux cercles 21, fi, ayant pour centre l’origine, et passant par les points a et b /■("■) sera uniforme et continue dans l’intérieur du cercle 21- Elle sera donc développable, pour toute valeur de z intérieure à ce cercle, en une série ordonnée suivant les puissances positives de Z.

Dans l’intervalle des deux cercles, la fonction sera développable, par le théorème de Laurent, en une série contenant à la fois des puissances positives et des puissances négatives de 2 .

Enfin, pour une valeur de z extérieure au cercle fi, la fonction f{z) sera uniforme et continue, quelque grand que soit le module de Z. Le développement ne contiendra donc plus que des puissances négatives de z, le terme constant étant nul, puisque f{oo) a pour valeur zéro.

158. Le théorème de Laurent est un cas particulier d’une formule plus générale.

Soient c, , c, , ... , les points de discontinuité de la fonction uniforme f{z), renfermés dans l’aire 21, et supposons que l’on ail tracé dans celte aire un cercle (£ (fig. 31), de centre quelconque c, qui renferme dans son intérieur tous ces points de discontinuité. Décrivons, de plus, de ces points comme centres, des cercles C, , ... ,<£u, assez petits pour être tous extérieurs les uns aux autres et intérieurs au cercle C.

Tllf:unil£ KLÉMKNT.MItE

La fonction f{i) sera uniforme et continue dans tout l'espace

Fis. SI.

compris entre tous ces cercles, et si c désigne un point quelconque de cet espace T, il viendra

Or, on aura, comme au n° 15^4,

De plus, dans , le module de Ç — c étant plus grand que celui de z — c, on en conclura, comme au n® 149,

JL f

û, étant infiniment petit pour » infini, et chaque coefficient étant donné pr la formule

L C /(Qrft

Dans r , au contraire, le module de ; — étant plus ptit que

^ it

celui de z — c*, on en conclura, comme au n® 155,

L r fiOdj^A, ^

(»„ étant infiniment petit pur iii infini, et chaque coefficient donné pr la formule

Comme on peut prendre les rayons des cercles aussi ptils que l’on voudra, il s'ensuit que, pour tout point :, pris à fintérieur du

iiKS ol’axtitks 113

cercle C, et autre que les points de discontinuité, on pourra développer la fonction en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de la différence : — c, et suivant les puissances entières et négatives des différences

de sorte que l’on obtiendra un développement de la forme

159. Les théorèmes précédents peuvent s'étendre aux fonctions (le plusieurs variables.

Soit une fonction f{z,z') des variables z , z' , unifornie et continue par rapport à chacune de ces variables dans l’intérieur d’une aire 21. En appliquant la formule du n* 144, on aura

On a d’ailleurs, d’après la môme formule.

Donc

On étendrait de même la formule au cas d’un nombre quelconque de variables.

On en tirerait ensuite la généralisation du théorème de Taylor pour le cas de plusieurs variables.

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