CHAPITRE III

KTIDE d'une ponction UNIFOUMIÎ DANS I.E VOI.SINAOP. DES POINTS OU ELLE DEVIENT NULLE OU INFIME.

Indice d'une fimciion en un poini donne.

1G0. Soit /"(i) uno fonction uniforme et continue dans toute l’étendue de l’aire 21, et n’ayant dans toute eetle aire qu’un seul rm», pour 2 = c. Si Ton désigne par u un nombre entier quelconque, l'expression

sera uniforme et continue dans toute l’aire, excepté peuUHre au |)oint c. Si U est très-petit, ce rapport jiourra s’annuler en r; si y est très-grand, il pourra devenir infini.

La fonction f{z) étant uniforme et continue dans tonte l’étendue de 21, on iiourra développer f{t) comme au n° 149, et l’on aura

en posant

‘ ini -L

kl

Le premier terme,

e.st nul, par hypotlièse. Il peut se faire que quelques-uns des cœllicients suivants,

s’annulent également. Mais il y aura nécessairement quelqu’un de

UES 01 ANTITÉS COMPLEXES.

ces coefficients qui différera de zéro, sans quoi /'(:), se réduisant à U,, quel que fût n, serait infiniment petit pour n infini, ce qui veut dire que cette fonction ne pourrait avoir qu’une valeur rigoureusement nulle pour tout point de l’intérieur du cercle, et par suite de l’aire 3 tout entière.

Soit le premier coefficient qui ne s’annule pas, ou, ce qui revient au même, soit / "’(c) le premier terme de la suite

qui soit différent de zéro. On pourra alors écrire riz) = 0 =A (•)'“ -e li , .

c’est-à-dire,

J / xW / 1 ^ /

d'où l’on conclut

M ^ ± f /li)di

" * ’ ‘*ri J I x"'’''/ \

La première expression montre que la valeur de la quantité est finie, quel que soit le point : pris à l’intérieur de

(r-e)" l’aire 21.

La seconde expression montre que cette valeur se réduit à pour Z = c; par conséquent cette valeur n’est pas nulle pour : = c.

Donc, si f(z} est une fonction uniforme et continue dans l’intiricnr de l'aire 21, nijant un seul zéro au point c, il erislcra une certaine puissance, entière et positive.

de la différence z — c, telle que la limite du rapport

llfi

{z-cf

pour z = Cj sera finie et differente de zéro; don il suivra que la fonction

sera uniforme, continue et différente de zéro pour tous les points de l’aire 21.

I^i’exposanl m est l’indice de la première des dérivées nz), r(z),...,

qui ne s’annule pas avec f{z) [X)ur z = c.

On voit que, dans cette hyiwlhèse, la fonction f{z) pourra toujours se mettre sous la forme

E (z) étant une fonction de z uniforme, continue et différente de zéro dans toute l’étendue de l’aire 21.

161. Supposons maintenant que la fonction f{z) soit uniforme et différente de zéro dans toute l’étendue de l’aire 21, et qu’elle soit continue en chaque point de cetU; aire, excepli; au point : = r, où elle présente un infini de première espèce. Alors, d’après

ce que nous avons vu (n° 113), la fonction ^ sera uniforme et continue dans toute l'étendue de 21, et ne s'annulera qu'au point z — c. Donc, en vertu de ce qui vient d’ètrc dit, on pourra poser

nz)

{:-cf{Fz),

F(z) étant une fonction uniforme, continue et différente de zéro dans toute l’étendue de l’aire 21 ; et, comme la fonction réciproque

jouit éviilemment des mêmes propriétés, il en résulte que la fonction proposée pourra se mettre sous la forme *

DKS UfANTIlÉS COMPLEXE!*.

m étant un nombre entier et positif, et E (z) une fonction uniforme, continue et différente de zéro dans toute retendue de faire 21.

Enfin, si la fonction f{z) est elle-mômc uniforme, continue et dilférentc de zéro dans toute l’étendue de 21, on pourra la mettre, par analogie, sous la forme

nz)=^{:-cfE(z), c étant un point quelconque de faire.

162. Donc, si f{z) est une fonction unifonne en tout point de l’aire 21, et si elle est continue et différente de zéro en tout point de celle aire, excepté au seul point c, où cette fonction peut dcvenir nulle ou infinie (de première espèce), cette fonction pourra, dans toute l’étaidue de Caire, se mettre sous la forme

M = (z-cfE{z),

E (z) étant une fonction uniforme, continue et di/férente de zéro en chaque point de 21 sans exception, et m étant un nombre ENTIER, positif, négatif ou nul, suivant que f (c) sera nul, ou infini, ou fini et different de zéro.

Ce nombre m s’appelle f indice de la fonction f (z) au point c.

On voit que findice d’une fonction exprime l’ordre infinilésimal de cette fonction au point considéré c, où cet ordre peut être différent de :éro dans faire 21.

La valeur de E (z), en un point z infiniment voisin de c, étant infiniment peu différente de E (c), il s’ensuit de là que, dans le voisinage de c, les deux fonctions

f\z) el {z-c)'“E{c)

ont pour limite de rapport l’unité. C’est ce que fon exprime en disant que f(z), dans le voisinage du point c, varie comme la fonction (z — cj’^E (c); ou encore qu’il varie proportionnellement à (z — c".

16d. De l’équation f{z) — (; — c)" E{z) on tire

THËOIIIt ËLËHENTAIIti:

et comme E' {z) est fini et continu dans le voisinage de c (n° 147), cette expression pourra se mettre sous la forme

f{z)={z-cr'Ë,(z),

£,(:) ne devenant ni nul ni infini pour z — c. Donc l’indice de la dérivée (tune fonction qui devient mdle ou infinie en un point c est égal à l'indice de la fonction diminué d'une unité.

Cette règle ne s'appliquerait plus si l'indice m était 0.

11 résulte de là que, si une fonction est infinie en un point c, toutes ses dérivées successives sont infinies au même point.

164. Comme toute fonction rationnelle se forme au moyen des trois opérations d’addition (comprenant la soustraction), de multiplication et de division, il suffit, pour avoir l’indice d’une fonction rationnelle, en un point, de connaître les indices en ce point des différentes fonctions dont elle est composée.

Soient f, , f, deux fonctions d’indices m, , m, au point c, continues et dilTcrcntes de zéro en tout autre point de l’aire 21 ; cl a, , a, deux constantes qui ne sont ni nulles ni infinies. La fonction

F — aj, + a J,

pourra, suivant ce que nous venons de voir, se mettre sous la forme

F= a,[z-cf' JS, -f a,{z— cf' JS,,

E, , E, étant deux fonctions continues et différcnles de zéro dans toute l’étendue de faire 21.

Soit maintenant « un nombre entier et fini quelconque, tel qu’aucune des deux sommes , u-l-wi, ne soit négative.

En multipliant les deux membres de l’égalité précédente par

(: — c) , il vient

(z-efF=z.(^-er”‘E,

Chacun des deux termes du second membre étant une fonction uniforme et continue dans le voisinage du point c, il en sera évidemment de même du premier membro

DES QLANTITKS CU.MDI.KXES.

Or, cc produit est lui-même d’un certain ordre v ; de sorte que l’on a, V étant entier, et G désignant une fonction uniforme, continue et différente de zéro,

{z—cf F = {z—cfG .

F = {z-cyi^ü,

et par suite F est une quantité de l’ordre entier, [tosilif, nul ou négatif, v — ft .

La fonction F, si v — u>ü, ou son inverse —, si v — a < 0, sera continue dans le voisinage de c. Donc le point c est un infini de l’une des deux fonctions F, -l- , et l’autre sera alors finie et

continue dans le voisinage de c. Donc la fonction F sera continue, ou du moins elle n’aura que des infinis de première espèce (*).