Les fonctions

f — fiG,

pourront s’écrire sous la forme

= {z-cy'“'

E^.E, et étant des fonctions uniformes, continues et dilTércn-

les de zéro en tout point de 3, ? cl ■/ auront pour indices respectifs, au point c, et m, — m,. En tout autre point de

3, 5 et y seront continues et différentes de zéro. Ces fonctions présenteront donc le même caractère que f, et /'„ d’être uniformes et continues dans toute l’étendue de 21, à l’exception du point c, où elles peuvent avoir un infini.

(•) F pourrait s'annuler en d’aulrcs points de H que le point c. On dirait pour ces points ce qu'on vient de dire pour le pointe. Iaîs zéros de F, autres que le point c, seront nécessaircmeiil isolés les uns des autres, comme cela résulte de cc que nous avons vu (n" 1521, à moins que la fonction F ne se réduise identiquement à zéro.

THËOKIK tvI.ËMEXTAIRK

166. Le caractère des fonctions uniformes, continues et différentes de zéro, à l’exception d’un nombre litnité de zéros et d’infinis isolés, ne se perd donc pas, lorsque l’on combine les fonctions par addition, multiplication ou division, de manière à en former une fonction rationnelle quelconque.

En particulier, si l’on considère une fonction de la forme

?t •?.••• fit

les indices des fonctions point c, étant

et ceux des fonctions , . . . , au même point étant l’indicc, en ce même point, de la fonction proposée sera

(w, -*-111, + - + III i) — (f., 4- fA. + • • • -t- f/j) .

§ II-

ÜéL eluppemenl en série d'une (onction uniforme en tout point d'une aire donnée, à l'exception d'un certain nombre d'infinis de première es/KCe.

167. Soient c,, c, , . . . , des points isolés, pris à l’intérieur de faire 21, et m, , ni, , . . . , des entiers positifs quelconques. La fonction

(1) F=(z- cf' (Z - c.r

sera uniforme et continue en tout point de 21, et ne s'annulera qu’aux points c, , c, , . . . , c^. Elle n'aura donc aucun infini, mais seulement des zéros isolés en ces points c. Donc findice de cette fonction sera positif aux points c, nul dans tout le reste de faire. Si fon pose

il est clair que E sera une fonction uniforme et continue dans toute faire et restera différente de zéro dans le voisinage du point c, . Donc ?n, sera findice de F au point c, . Pareillement, m, seront les indices de F aux autres points-zéros

UKS üUANTITÉS COSIPLRXES.

Soit maintenant f=f{z) me fonction quelconque, uniforme dans toute l’étendue de 21, et continue dans cette môme étendue, excepté aux k points c, , c, , ... , c^, où elle devient infinie. Les indices de f en ces points seront des entiers négatifs,

W, , tt, , y ~~

En tout autre point de l’aire l’indice de f sera nul ou positif. Si l’on considère le produit

ce produit sera uniforme et continu en tout point de 21 autre que les points c. En un point c, l’indice de ce produit sera m — n. En tout autre point, l’indice sera égal à celui de f, et, par suite, nul ou positif.

Si donc on prend les indices m, , »i, , . . . , respectivement égaux à n, ,u , , , les indices du produit y aux points c, , c, , . . . Cj , seront tous nuis, et, par suite, la fonction <p sera finie et continue en ces points c , comme en tout autre point de l’aire 21.

Donc, si la fonction / est discontinue seulement aux points c, , c, , . . . , Cj, et que les indices correspondants soient — n,, — H,, :.. , — , le produit

sera une fonction uniforme et continue dans toute l’étendue do faire 21.

On pourra développer cette fonction par le théorème de Cauchy dans l’intérieur d’un cercle tracé dans faire 21 autour d’un centre quelconque y , et l’on aura ainsi

en posant

On a par conséquent, dans f intérieur du même, cercle,

/lo+ d| (j —y) -H .4,(j — y)’ + •••

TIIÉoniE fj.ËM£NTAIHE

168. Cette formule nous donne le moyen de calculer le résidu de la fonction f{z) relatif à un de ses points de discontinuité c, d'indice quelconque u. Mettons, en effet, la fonction proposée sous la forme

^ (5) étant une fonction uniforme, continue et différcnlc de zéro dans le voisinage du point c. On aura alors, dans l'intérieur d'un contour sufllsammcnt restreint, autour du point c,

y {-) — Ao+ — c) + d,(; — c)’ ••• ,

où l’on a posé (n“ 149)

On on tire

ce qui donne le développement de /"(:) suivant les puissances entières, positives et négatives, de z — c. Or, d'après ce que nous avons démontré (n° 141), le résidu de f(z) relatif au point c est

le coefficient A , de — ^ — dans ce développement. On a donc

^lini.^o 0;''[.“/'(c + ‘)]

Donc, si f (z) est une fonction uniforme dans le voisinage du point de discontinuité c, et (pie — n soit l'indice de la fonction en ce point, le résidu de la fonction relatif au point c sera donné par la formule

laquelle comprend comme cas particulier la formule du n“ 140, correspondante à « =■ I .

DBS UtANTITÉS CONI'LEXES.

î ni.

Exprtisivn de l'indice d'une fonction au moym d'un résidu.

169. Soit f{z) une fonction uniforme, continue et difTcrcnlc de zéro en tout point de Paire 21, excepté au point e.

Si m est Pindicc do f(z) au point c, et que l’on mette f{z) sous la forme

/ ri

la fonction E et sa valeur réciproque-^ seront l’une et l’autre uniformes et continues en tout point de Paire 21. On aura donc (n° 148)

Si Pon remplace maintenant £ par sa valeur - 7733 :^, il vient

ou

Ç {Z~CŸ ( df

Or, l’intégrale f — — a pour valeur “izi. Donc, la formule pn -

cédenle devient m

Jt| /• irijef f

ou, ce qui est la môme chose,

m = J^dlog i ^ log f.

Donc, l'indice d’une fonction f en un point c est cyal au résidu de la fonction

-^=D. log/-

relatif au point c, ou, ce qui revient au même, relatif a une aire

THËOBIE ËLËMENTAinE

quelconque qtU ne renferme pas d’autre zéro ou d'autre infini que le point c.

170. Supposons mainlenant qu'au lieu d'un seul point c, zéro ou infini, la fonction f ait, à l’inléricur de faire %, k zéros ou infinis,

c, , c, , . . . , Cj ,

et que celle fonction soit uniforme, continue et différente de zéro dans tout le reste de cet aire.

En appliquant à ces divers points ce que nous venons de dire, on aura, pour valeurs de leurs indices respectifs,

i C df r

1 r df c

Si c désigne, au contraire, un point quelconque qui ne soit ni 1111 zéro ni un infini, et pour lequel la fonction reste finie et ne s'annule pas, on aura pour f indice de ce point,

. t t' df I'