CHAPITRE IV

REPRÉ.SKNTATIOS D’i:NE VARIABLE COIIPI.ENR SUR LA SPHÈRE.

Passage du plan horirantal à la sphère et au plan antipode.

173. Concevons une sphère de diamètre = 1, tangente en l’origine 0 f/iij. 32y au plan des coordonnées xOy, ou plan horizontal, et située au-deisou.': (*) de ce plan. Soit 0' le point de la

Étant donné un point M (x,y) du plan, joignons ce point au point 0'.

La droiteO' M rencontrera la sphère en un point u, qui sera complètement déterminé par la position du point .M, et vice versa. On pourra prendre donc pour coordonnées du point U les coordonnées soit rectangulaires, soit |)oiniresdu point M,de

.sorte que l'expression

- = r -I if/ =

représentera indifféremment le point M du plan ou le point p de la sphère.

A un contour tracé sur le plan correspondra un pontour tracé sur la sphère. Les deux contours seront à la fois tous les deux fermés ou tous les deux non fermés; tous les deux à connexion simple, ou tous les deux à connexion multiple et du même degré de multiplicité.

sphère opposé au point 0.

Fis. 32.

(') Nous entendons par dessus du plan xOi/ la face de ce plan telle qu'un oliservatciir se tenant debout sur cette Tacc, les pieds sur le plan, doive tourner d'un angle droit, de sa droite vers sa gauche, pour passer de la direction positive do l'axe des x a la direction positive do l'axe des y. Ce sens de roLation est celui du mouvement propre annuel du Soleil pour un habitant de riiémisph^rc bordai.

I>RS OI'ANTITFS COMI-I.F.XES.

Si le point M s’éloigne à l’infini, la droite ü' uM tend à devenir parallèle au plan xij, et le point u se rapproche indéfiniment de 0'. Donc, dans ce système, non-seulement chaque valeur finie de V est représentée par un point unique et déterminé de la sphère, mais encore la valeur z — oc est elle-même représentée par le point unique et déterminé 0’.

D’après cela, un contour qui, sur le plan horizontal xy, aurait deux branches infinies, comme une parabole, serait représenté sur la sphère par un contour fermé, passant par le point ü. A une hyperbole tracée sur le plan des xy correspondrait sur la sphère une courbe en forme de 8, ayant son point multiple en 0'.

174. A tout point du plan horizontal, situé à une distance finie de l’origine 0, correspond un point unique de la sphère, et réciproquement.

Si donc une fonction /"(i) a une valeur unique en chaque point du plan situé à tlhe distance finie de 0, cette fonction aura aussi une valeur unique en chaque point de la sphère qui ne se confond pas avec 0'. Donc, pour les valeurs finies de z, une fonction uniforme sur le plan est aussi uniforme sur la sphère, et réciproquement.

Pour z fini, à un accroissement infiniment petit de z sur le plan correspond un déplacement infiniment petit du point corrélatif de la sphère, et vice versa. Donc, si une quantité varie d'une manière continue sur l’une des deux surfaces, elle variera aussi d'une manière continue sur l’autre surface.

175. 11 peut y avoir exception pour les valeurs d’une fonction correspondante h des points de la sphère infiniment voisinsdu point 0' de la sphère, qui représente l’infini. En effet, sur le plan, les valeurs de : de module infini et d’arguments différents vont en divergeant de plus en plus, tandis que les points correspondants de la sphère convergent tous vers le même point 0'. Il peut donc se faire qu’une fonction uniforme pour tous les points de la sphère autres que 0' devienne multiforme en ce point, où se réunissent des valeurs variables exprimées par des nombres infiniment différents.

THI^.ORIK Él.fMF,NTAIIIE

Considérons, par exemple, la fonction

sin Z = sin (x + itj) = sin a:Cli y -i - 1 cos r Sh y.

i^tte fonction ne tend pas vers une limite déterminée pour 3 — 00 , Car, si l’on fait x = 0, y = x, elle tend vers oo x »; si l’on fait X = oo, y = 0, elle tend vers sin oo, quantité réelle , comprise entre — i et + 1, mais complètement indéterminée entre ces deux limites. Or, sur la sphère, ces deux valeurs de : sont représentées l’une et l’autre parle point 0'. Donc en 0' la fonction sin Z n’est plus uniforme et continue, comme elle l’est pour tous les autres points de la sphère. Elle a en 0' un point de discontinuité de seconde espèce.

Au contraire, la fonction

az + h

Cl + il

niz

tend pour z = oo, vers la limite finie — > quelles que soient les

composantes de z, pourvu que le module soit infini. Donc celle fonction est encore uniforme en 0', comme en tous les autres points de la sphère.

176. Si l’on désigne par 5 l’arc de grand cercle compris entre le point 0 et le point ; de la sphère, cet arc faisant partie d’un cercle de diamètre = 1, sa longueur mesurera l'angle l — - îO'O, compris entre les directions O'O et O'z. Le module r du point z du plan sera donc égal à

long S = tang A.

Donc le point représenté par re*'’ sur le plan sera représente par lang S.e‘’’= langX.e*''

sur la sphère. Si r varie d’une manière continue, il en sera de même de 5 ou de et réciproquement, sauf le cas de ^ ^ ,

c’est-à-dire sauf le voisinage de 0' .

177. Si l’on fait décrire à i, sur le plan horizontal, un cercle ayant pour équation

DKS ql'\NTITASC(INt>I.EXKS.

la courbe tracée |)ar le z de la sphère sera l’intersection de cette sphère, représentée par l’équation

avec le cône •

On tire de ees deux équations

ce qui montre que la courbe d'intersection est plane. Donc le : de la sphère décrit un cercle comme le : du plan; et réciproquement.

178. Imaginons maintenant un plan tangent à la sphère au pôle inférieur 0', et joignons le : de la sphère, que nous désignerons par au pôle supérieur U. La ligne 0; rencontrera le plan inférieur en un point t', qui sera lié avec z et avec Ç, et qui sera déterminé par chacun d’eux, ou le déterminera sans ambiguïté. Nous avons, entre le module r et l’angle OO'z = 5, la relation »•= lang à.

L’angle O'O: étant égal à — à, le module O'z' aura pour valeur r' = tang O'Or = col 3 = •

L’argument sera le même que celui de si l’on prend pour cet argument l’angle du plan 0“0' avec le méridien fixe passant par O.r, ce qui suppose les faces supérieures des deux plans tournées vers la même direction, celle qui va de 0' vers 0. Mais il est plus convQjiable de compter l’argument de =’ dans le sens opposé.

Examinons, en effet, par quel procédé de déformation nous pouvons passer le plus simplement du plan supérieur à la sphère, puis de celle-ci au plan inférieur. Imaginons un observateur placé en :, debout sur la face supérieure du plan horizontal (fig. 83).

Cone.evons qu’on enroule la ligneOz sur le méridien ÜrO', en faisant varier la longueur de celte ligne de I manière que chaque point : suive la I droite O'?:. L’observateur, entraîné Idans ce mouvement, se trouvera de- Iboul en Ç sur la surface extérieure

di‘ la sphère.

TMI^.OIIIK I-l.f\IKNT\lltK

Déroulons maintenant l’arc Ü’Ç, jusqu’à ce qu'il vienne s'appliquer sur 0' s', en faisant varier sa longueur de manière que le point Ç suive la droite 0$;’. L’observateur placé en Ç, sur la surlàcc extérieure di; la sphère, arrivera en la tête tournée vers te bas, en sens inverse du sens dans lequel il se trouvait en 3 , et dans une position que nous pourrons désigner par le mot d'antipode. Nous appellerons alors, par analogie, plan antipode le plan inférieur 0'3'.

Cela posé, pour que, sur le plan antipode, l’axe des y soit situé à un angle droit au delà de l’axe des J pour un observateur debout en 0' sur la face inferieure du plan et tournant de droite à gauche, il faudra faire croître les azimuts sur ce plan en sens contraire des azimuts sur le plan horizontal. Si l’on désigne donc par p' l’argument de z' compte à partir du même plan lixe que l’argument p de z, il faudra prendre

Ün conclut de là que l’on aura

Ainsi la construction précédente détermine sur le plan antipode une nouvelle variable i', dont la valeur est réci|)roque de la valeur de z (’).