S II

180. Théorème. Une fonction qui estuniforme, finieet continue dans toute l'étendue de la sphère, se l édiiil à une constante.

four démontrer cette proposition, mettons la fonction f(z) — f{x -I- il/) sous la forme u + iv, u et v ayant chacun une valeur unique en chaque point du plan horizontal, et pr suite en chaque point de la sphère. Nous suppsons, de plus, qu’en chaque pint de la sphère, u et t; soient des fonctions continues des variables O et p, qui déterminent la psition de ce pint.

Partageons la sphère en deux parties par une ligne fermée quelconque, qui ne se coupe pas, et de telle sorte que la calotte supérieure renferme le point O, la calotte inférieure le pint O' . Nous pourrons transformer tous les points de la calotte supérieure en des points du plan horizontal renfermés dans nne certaine aire 21, et tous les pints de la calotte inférieure on des pints du plan antipode renfermés dans une aire 2i'- D’après la formule démontrée au n° 1.17, on aura, sur le plan horizontal ,

I I [(D^«)‘ -e (D u)«J rf.rrfi/ = / udv .

l’intégrale du second membre étant prise dans le sens psilif par rapprt à faire 3, c'est-à-dire en marchant de l'ouest à l'est (n“ 175, note).

THf:OItlE KI.KMENTAIIIE

On aura de même, sur le plan antipode,

l’intégrale du second membre étant prise dans le sens des angles p’ croissants, ou dans le sens des angles p décroissants, c’est-à-dire en marchant de l’est à l’ouest.

On peut maintenant considérer .c , y , ou x' , y' comme les roordonnées tanfienticlles d’un point ; de la sphère. Les fonctions

Ox'": "■

auront les mêmes expressions et les mêmes valeurs, soit qu’on rapporte les coordonnées à un point de l’un des plans, soit qu'on les considère comme déterminant un point de la sphère. On aura donc

/ I [(Ox’')’ + ' fj [('V")’

— / udr E I udr .

la première intégrale de chaque membre se rapportant à la calotte supérieure, et l’autre à la calotte inférieure.

Ôr les intégrales ( udv , f udv sont prises l’une et l’autre •3 - 3 '

le long de la courbe de séparation des deux calottes, laquelle, sur les deux plans, s’était transformée dans les contours des aires 21,21'. Ces intégrales sont donc composées des mêmes éléments. Mais dans la première le contour est parcouru de l’ouest à l’est, tandis que dans la seconde il est parcouru de l’est à l’ouest. Donc les mêmes éléments sont pris en signe contraire dans ces deux intégrales, il résulte de là que ces intégrales sont égales et de signe contraire, et que leur somme est nulle. Il en est donc de même aussi pour la somme des intégrales doubles.

Mais CCS intégrales doubles sont composées d’éléments qui ne peuvent être négatifs. Donc, pour que leur somme soit nulle, il laul que ces éléments soient nuis séparément, ce qui entraîne les équations

DES OIAKTITÉS COJIPI.EXES. 133

Donc la fonction « se réduit à une constante dans toute l’étendue de la sphère, et comme on a, en chaque point (n° 102)

il en résulte que v doit se réduire aussi à une constante. Donc f{z) se réduit à une constante dans tonte l’étendue do la sphère, et par suite aussi dans toute rétenduc du plan (’).

181. Il résulte de là que toute fonction uniforme de :, qui ne se réduit pas à une constante, doit présenter au moins un infini en quelque point de la sphère, et par suite elle doit devenir infinie pour une valeur au moins de finie ou infinie.

182. Si la fonction f{z) ne se réduit pas à une constante, il en sera de même de son inverse • Donc la fonction devra

aussi présenter un ou plusieurs infinis, et par conséquent la fonction /■(:) un ou plusieurs zéros.

Donc toute fonction uniforme de qui ne se réduit pas à une constante, doit nécessairement présenter, dans l’étendue infinie du plan, un ou plusieurs zéros, et aussi un ou plusieurs infinis.

De plus, si le point 0' est un zéro (ou un infini), il faut que la fonction ait en un autre point un infini (ou un zéro). Donc toute fonction uniforme a au moins soit un zéro, soit un infini, situé à une distance finie.

i') On peut encore démontrer ce théorème comme il suit :

L .1 fonction fl») étant toujours finie et continue, quelque grand que soit

un aura, en prenant pour :3I un cercle de rayon infini, et posant ç =

Or pour A infini, ft() restant toujours fini, l'intégrale difi'érera infiniment lieu de

quantité finie et indépendante de Uonc f{z) est aussi indépendant de z, et go réduit à une constante,

TIIKUHII-: ÉlKMENTAIIIi:

il est aisé de voir que celte proposition contient comme cas particulier le théorème, que toute équation algébrique a au moins une racine (n°* 74-76).

183. La fonction f{z) — k doit, d’après cela, avoir au moins un zéro. 11 s’ensuit de là que la fonction f(z) passe au moins une fois par une valeur donnée quelconque k.

Ainsi toute fonction uniforme dans toute l'étendue de la sphbie reçoit nécessairement toute^s les valeurs possibles, y compris zéro et l’infini.

184. Remarquons que les zéros (et les inlinis) d’une fonction doivent être nécessairement isolés. Car s’ils étaient infiniment rapprochés, ils formeraient un élément continu, sur lequel la fonction présenterait une valeur constante, et l’on en conclurait alors (n° 152) que la fonction devrait rester constante dans toute l’étendue du plan.

Un infini de première espèce ne peut être non plus à une distance infiniment petite d’un zéro; car alors l'inverse de la fonction serait discontinu en ce point, aussi bien que la fonction elle-même, et l’infini ne serait plus de première espèce.

185. Soit f{z) une fonction finie et continue en tout point de la sphère autre que le point 0’ . Partageons toujours la sphère en deux calottes, dont l’une contienne 0, l’autre 0', et transportons tous les points de la calotte inférieure 21' sur le plan antipode.

La fonction f {z)z= f = ? (z') sera finie et continue pour

toute valeur de z, excepté pour z' = 0. Soit — n l’indice de cette fonction pour z' = 6 . On pourra, d’après ce que nous avons vu, développer la fonction

uniforme et continue dans toute l’étendue du plan antipode, en série ordonnée suivant les puissances positives de z', et poser

DES QIANTITÉS COMPLEXES. 135

Ü, étant une fonction finie et continue dans toute retendue du plan antipode. Donc

d’où en remplaçant i' par — > f(z') par /'(:),

formule vraie sur toute l’étendue de la calotte 21' .

Or la fonction û, est finie et continue sur toute la calotte 21' ; elle l’est évidemment aussi sur toute la calotte 21. Donc elle l’est aussi sur toute la sphère, et par conséquent elle se réduit (n“ 182) à une constante /!,. On a donc

Donc i;nc fonction uniforme qui ne devient infinie que pour z infini, et qui, pour toute autre valeur de z, reste finie et continue, est une fonetion entière et rationnelle de z, dont le degré est égal il l'indice du point z = <x> .

186. Supposons maintenant que la fonction f{z) ait des infinis . . . , Cj , autres que le point O'. Partageons la sphère, comme précédemment, en deux calottes contenant l’une tous les points e, l’autre le point 0', qu’il soit ou non un infini.

Suivant ce qui a été démontré, la fonction (lourra se mettre sous la forme

-lo + -•11- + '1,-* ■* ■"

(z-eS' (z—c,f< - (:— Cj)"‘

U, , H, , , uii étant les indices des points c, , c, , . . . , q; de sorte

que la fonction

F = {z - c.)"* . . . - cp . f(z)

sera uniforme et continue dans toute l’étendue de la calotte supérieure.

Elle sera également uniforme et continue en tout point de la calotte inférieure, à l’exception peut-être du point O' . Donc, d’après

THÉOBIK lÏLf BKNTMKE

ce que nous venons dYtablir au numéro précédent, cette quantité F sera une fonction entière et ratinuiiellc de d’un degré n marqué par son indice au point 0’, et, par suite, de la forme

Donc la fonction proposée f{i) sera de la forme

le numérateur se réduisant à une constante, si la fonction F est finie en 0'.

Donc toute fouction uniforme d voniiiiue dans toute l'cteuduc de la sphère, à l'exception d'un nombre limité d'infinis de première espèce, est une fonction rationnelle. '

187. Soient c, , c, , . . , tons les points où une fonction f(z) devient nulle ou infinie sur le plan horizontal; a, , n, , . , n^ leurs indices, positifs ou négatifs. La fonction

ne pourra devenir nulle ou infinie en aucun point du plan. Donc elle se réduira à une constante A (n° 184), d’où l’on tire

f(z) = .1 — c,}’. (:—£,)"• ... (2— Ci,"‘ .

Donc une fonction uniforme et continue dans toute l'étendue de la sphère, à Vexeeplion d'un nombre limilé d’infinis de première espèce, est connue, à un facteur constant près, dès que l'on donne ses zàos et ses infinis avec leurs indices respectifs.

ni.

Détermination d'une fonction par di» cniulitions rclatices au contour et «uæ points de Jisconlinuilé.

188. Nous avons vu (n° 151) qu’une fonction uniforme et amtinue dans une aire donnée est déterminée jiour toutes les valeurs de la variable comprise dans cette aire, lorsqu’on donne ses valeurs en tout point d’un élément de l’aire aussi petit que l’on voudra.

UES OI'ANTITES complexes. 1 37

Nous allons voir comment on peut réduire au strict nécessaire les conditions de la détermination d’une fonction, ce ijui conduira aux moyens d'étudier une fonction sufTisaimncnt déterminée, sans avoir besoin de connaître son expression analytique.

189. Nous avons vu (n° 151) que si une fonction uniforme et continue w de t = æ | lÿ est donnée pour un élément, superficiel ou linéaire, de faire 21, aussi petit que l’on voudra, on obtiendra d’abord l’expression do cette fonction, sous forme de série convergente, pour tous !(« points de f intérieur du cercle de convergence (jui a son centre en un point quelconque de l’élément ; et de là, en s’avançant de proche en proche, on peut déterminer la fonction dans toute f étendue de faire 21.

Nous pourrons supposer que l’élément linéaire le long duquel la fonction est donnée est le contour même du cercle de convergence C, de rayon /? et de centre c, ou d'un autre cercle quelconque compris dans le cercle de convergence, et aussi voisin de lui que l’on voudra. Si l’on connaît les valeurs que prend la fonction f{i) en tous les points de la circonférence C, les formules du n” 154 détermineront les coefficients du dévelopi^ment de f{z), sous forme d’intégrales portant sur des fonctions connues, et ce dévelop[>einenl donnera les valeurs de f{z) en un point quelconque de f intérieur du cercle.

La fonction le = f{z) ainsi déterminée, jouira des propriétés suivantes ;

Elle sera continue, ainsi que toutes scs dérivées, pour toute valeur de Z intérieure au cercle;

Elle satisfera à féquation aux dérivées partielles

Di w e I); w ■— 0.

190. Au lieu de la fonction w — u -t- it> elle-même, il nous suffira, dans nos recherches, de considérer sa partie réelle it. Cette partie réelle une fois obtenue, les conditions (2) du n° 102, auxquelles le coefficient de t devra satisfaire, nous feront connaître la différentielle

rfr = I) cdx -t- 1) »(/« = — D D udy,

S 9 ^ 9 JS ’

expression intégrable en vertu de la condition D' H I D' H = (I.

THËonit: ËLKMEMAIRE

On en tirera, par l'intégration, la valeur de v, à une constante réelle près. Enfin celte constante elle-même sera déterminée, si l’on donne la valeur numérique de u en un point quelconque (xo.ÿo) de faire considérée.